II. — Systèmes plans réciproques superposés en involution
314. Deux systèmes plans réciproques superposés sont dits en involution lorsqu'à chaque point du plan correspondent, deux droites qui coïncident, c'est-à-dire lorsqu'une invine droite correspond doublement à eli ai pie point.
La possibilité d'une telle relation résulte de la proposition suivante :
Deux systèmes plans réciproques, Sef I,, sont en involution quand aux sommets A, B, C (Jig. j5) d'un triangle de 2 correspondent les côtés opposés ai} bi} ci} du même triangle dansX{.
Il résulte immédiatement de cette Fiff- 7 ■>•
condition que les sommets du triangle correspondent doublement aux côtés opposés. Désignons, en effet, par A, le point d'intersection de b{ et de c( dans S, . A ce point, qui coïncide avec A de 2, correspond dans 2 (225) le côté a, qui joint les sommets B et G
du triangle, et cpii coïncide avec la droite «, de 2, ; aux points B, et C, de 2,, qui sont les intersections des couples de côtés c,,"r/, et a{, bs, et qui coïncident respectivement avec les points B et G de 2, correspondent pareillement, dans 2, les côtés opposés, b et c, qui joignent les couples de sommets C, A et A, B, et qui' coïncident respectivement avec les côtés bK et c{ de 2t.
l'A) GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XIX.
Au faisceau de rayons AA, correspond donc doublement la ponctuelle asa, et au rayon bb{ du faisceau correspond doublement le point B, B de la ponctuelle. Le faisceau et la ponctuelle sont par conséquent en involution (188).
\ un rayon quelconque du faisceau AA, correspond doublement un point de la ponctuelle a{ a, et pareillement, à tout rayon des faisceaux. BB, et CC,, correspond doublement un point des ponctuelles respectives Z>, b et e, c.
Considérons maintenant, dans le plan, un rayon quelconque pl ou />. Ce rayon coupe les côtés du triangle en trois points auxquels correspondent doublement trois rayons des faisceaux AA,, BB, et CC,. Au rayon p{p doit donc correspondre doublement le point PP,, où concourent ces trois rayons; en d'autres termes, les systèmes réciproques sont en involution.
