III. — Système plan polaire

315. On peut considérer deux systèmes plans en involution comme un système unique, dans lequel chaque point est coordonné ( ' ) à une droite et chaque ponctuelle à un faisceau de rayons en involution avec elle. On donne à ce système le nom de v) stbme plan polaire.

Lorsque, dans un système plan polaire, un point appartient au rayon qui lui est coordonné, ou lorsqu'un rayon passe par le point qui lui est coordonné, la même condition est remplie par une infinité d'autres points, ou d'autres rayons : le lieu des points est une courbe du second ordre, et le lieu des rayons coordonnés un faisceau du second ordre enveloppant la courbe.

Soit A (Jig. 76) un point du système polaire, situé sur la droite a qui lui est coordonnée. Tout autre point B de la droite a doit se trouver en dehors de la droite b qui lui est coordonnée, caria droite b passe par A (225), et ne peut coïncider avec a. La ponc-

(') Pour éviter toute confusion entre les relations qui résultent des propriétés involutoires et celles qui se fondent sur les propriétés polaires, dont il sera question au paragraphe suivant, nous avons réservé à ces dernières le terme précédemment employé (18!5), traduisant ici par le mot coordonna le zugeordnet des Allemands.

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Fig. ;G.

luelle h etani d'ailleurs en involution asce le faisceau \\ de rayons, et, par conséquent, avec une section du faisceau 13, celte ponctuelle contient, outre le point A, un second poinl C, situé surla droite qui lui est coordonnée (185). Le système plan polaire ne peut donc contenir un point dans les conditions de \, sans en contenir une infinité d'autres.

Si tous ces points se trouvaient sur une même droite, un rayon quelconque, contenantl'un d'eux Y, n'en pourrait pas contenir un second C. Si ces mêmes points étaient distribués sur deux droites, à un point quelconque A de l'une serait coordonné un rayon a passant par A et coupant l'autre droite en un nouveau point du lieu. Mais il n'existe qu'un seul point tel que A sur chacun des rayons coordonnés a. Le lieu des points A est donc une courbe du second ordre (313). Les rayons coordonnés à ces points sont, d'ailleurs, tangents à la courbe, puisque chacun de ces rayons ne contient qu'un seul des points dont La courbe est formée.

On donne à cette courbe le nom de directrice du système piar polaire, et l'on nomme respectivement points de la directrice et tangentes à la directrice les points et les droites du système polaire qui satisfont à la relation que nous venons d'établir.