V. — Système polaire dans la gerbe. Trièdre polaire

320. Si Ton projette un système plan polaire 1 d'un point S quelconque, situé hors de 2, on obtient un système polaire dans la gerbe. A tout rayon de la gerbe S est coox-donné un plan de celleci, et vice versa. Si le système plan a une directrice, cette courbe est projetée au moyen d'une surface conique du second ordre qui prend le nom de directrice du système polaire dans la gerbe.

Deux rayons de la gerbe sont conjugués, dans ce système, lorsque chacun d'eux est situé dans le plan qui correspond à l'autre. Deux plans sont conjugués lorsque chacun deux contient le rayon qui correspond à l'autre.

Un trièdre appartenant à un système polaire dans la gerbe est dit trièdre polaire lorsque chacune de ses arêtes correspond à la face opposée.

VI. — Relations entre les formes simples qui se correspondent dans les formes fondamentales de la seconde espèce en involution.

321. Deux formes fondamentales simples quelconques, qui se correspondent dans deux formes fondamentales de la seconde espèce en involution, sont elles-mêmes en involution.

Nous nous bornerons à étudier le cas du système plan polaire, auquel tous les autres cas peuvent être facilement ramenés.

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(iliOMKTHIi: Di: POSITION. — UI.U'ITIUÌ XIX.

Soient 2 et St les systèmes plans qui constituent un système polaire, et soit V (fig- 77) un point quelconque de X, non situé sur sa polaire at. Si D est un point quelconque de a,, il, sa polaire passant par A, le point D,, intersection de <v, et de di} scia Le pôle de la droite AD, que nous désignerons par d\ . Tous les points D forment sur ax une ponctuelle a, projective au faisceau de rayons S, composé de toutes les droites d{ (228); la ponctuelle u sera donc aussi projective à la ponctuelle u, résultant de l'intersection de S, avec at, c'est-à-dire formée de tous les points D, .

Le point D, considéré comme élément, soit de u, soit de u,. avant pour correspondant le point Dt, 11 et ut sont en involution, et il en est de même, par conséquent, de la ponctuelle u et du lai sceau S( .

Les couples de points D, D, de la droite aK et les couples de droites di} d\ du faisceau A étant respectivement conjugués, et, d'autre part, les systèmes polaires dans les gerbes donnant lieu à des relations analogues, nous pouvons énoncer la double proposition suivante :

Dans tout système polaire plan, les couples de points conjugués situés sur une même droite forment une ponctuelle eu involution, et les couples de droites conjuguées passant par un même point forment un faisceau de rayons en involution.

Dans tout système polaire de la gerbe, les couples de plans conjugués passant par une. même droite forment un faisceau de plans en involution, et les. couples de rayons conjugués situés dans un même plan forment un faisceau de rayons en involution.