RECHERCHES ANALOGUES POIR LES ESPACES RÉCIPROQUES

[agerbe V,. On sait 313) que des points de cette sorte existent généralement dans a, et forment une courbe du second ordre qui peut, clans certains cas, se trouver réduite à deux droites, à une droite ou à un seul point.

Soit, d'autre part. (3 un plan de X passant par le point il, qui lui correspond dans£|. Considérons ce même plan connue appartenant à Z, et désignons-le pai- y, : il a pour correspondant dans ^ un point C qui doit se trouver sur/3, puisque y, passe par li,. Au

cran de lavons C. situé sur le plan (3 de 1, correspond, sulle plan y, de Z,, un faisceau de rayons qui est projectil à C et qui a pour centre le point B,. Les faisceaux de rayons C et H, engendrent donc une courbe du second ordre, qui peut, en certains cas, se réduire à deux droites. Les points de celte courbe sont respectivement situés sur les plans de l'espace réciproque qui leur correspondent. Soit, en effet, P le point où un rayon quelconque p du faisceau C est coupé par le ravon correspondant p, du plan y, : à ce point P du ravon p correspond, dans le système 2|, un plan ::, qui contient le ravon />, et qui passe dès lors par le point P.

On a ainsi démontré que le lieu géométrique des points considérés et un plan quelconque, a ou (3, contenant une partie de ces points, ont en commun une courbe du second ordre, ou deux droites, ou une droite, ou un seul point: c'est là une propriété caractéristique de la surface du second ordre. Conséquemment :

Tous les points de l'espace situés sur les plans qui leur corresponde/il dans deux espaces réciproques appartiennent à une surface du second ordre.

On vérifierait d'une manière analogue que :

Tous les plans passant par les points qui leur correspondent dans deux espaces réciproques forment une gerbe de plans du second ordre.

La gerbe de plans du second ordre correspond, dans chacun des espaces réciproques, à la surface du second ordre considérée dans la première partie de la proposition.

Il est d'ailleurs possible qu'aucun point de l'espace ne soit situé sur les plans qui lui correspondent.

•iÇyi GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE SIX.