X. — Systèmes focaux

327. Quand tout point P d'un espace S est sur le plan t:, qui lui correspond dans l'espace réciproques^ les espaces 2 et S, sont en involuUon.

[Remarquons d'abord qu'aucune droite g du premier espace ne peut être coupée par la droite gt qui lui correspond dans le second, car, s'il en était autrement, la ponctuelle g- n'aurait que deux de ses points sur les plans correspondants du faisceau g{, savoir : le point d'intersection ggt et le point correspondant au plan ggt de 2,.

Cela posé, si à un point quelconque P de 2 correspond un plan t:, de 2, passant par P, tout rayon g de P situé dans ce plan doit coïncider avec le rayon correspondant gi de 77| ; car les deux rayons doivent, tout ensemble, être situés dans le plan 7i| et ne pas se couper. 11 s'ensuit que le plan r.u considéré comme plan de jonction des rayons g et gt dans 2, doit correspondre au point P, considéré comme point d'intersection des mêmes rayons dans 2|.

Puisque à tout point P correspond doublement un plan ti,, les espaces réciproques sont en involution et peuvent être considérés comme un système unique. Nous donnerons le nom de système focal (' ) à ce système, dans lequel correspondent respectivement : à tout point un plan polaire, à toute droite une droite polaire, à tout plan un point comme pôle.

Dans le système focal, tout plan passe par son pôle; tout système plan et la gerbe qui lui est coordonnée ont un faisceau de rayons uni; toute droite et sa polaire coïncident quand elles sont

(') Cette dénomination de système focal, équivalente au Nitifrjrttam <!<■ Mtfanw; est déduite des travaux de MM. Ciusles et Mannheim sur l'étude géométrique du mouvement des systèmes invariables : le foyer du plan {Nullpunkt der Ebene) est l>' poinl où concourent tous les axes de moment nul contenus dans le plan, et le plan /beai

( Au lie!" /■■!■) rst Le lieu géométrique de ces axes.

SYSTEMES FOCAUX. 265

situées dans un même plan ; enfin, toute ponctuelle esl perspective au faisceau de plans qui lui est coordonné si elle n'a aucun point commun avec L'axe de ce faisceau.

328. Si le point P se iinul dans un plan donné a, son plan polaire t:, passe constamment par un point fixe \. qui esl le pôle de y., et, vice versa, le lieu des pôles de tous les plans qui passenl par un point V est un plan cf., polaire de A.

Si le pôle P parcourt une droite, le plan polaire tt, tourne autour d'une autre droite. Deux droites liées par cette condii ion sont dites conjuguées au réciproques. Chacune d'elles est en même temps le lieu des pôles des plans passant par l'autre et l'axe du faisceau des plans polaires des points de l'autre.

A un faisceau de plans parallèles correspond une ponctuelle de pôles dont le lieu esl une droite de direction déterminée ; en d'autres termes, une droite située à distance infinie a pour conjuguée une droite dont le point à l'infini est le pôle du plan à l'infini. Toutes les droites parallèles qui passent par ce point à l'infini correspondent de la sorte à tous les axes à l'infini des faisceaux de plans parallèles.

Nous remarquerons incidemment, en vue des applications ultérieures, que Tune des droites considérées est perpendiculaire au faisceau de plans parallèles correspondant. Quelques auteurs la nomment axe central du système.

On peut, dès lors, donner la forme suivante au résultat précédemment énoncé :

Toute droite parallèle à l'axe central d'un système focal a sa conjuguée à l'infini; tout plan parallèle à l'axe cpntral a son pôle à l infini.

329. Toute droite coordonnée à elle-même prend le nom de rayon directeur du S} stèrne focal. Tous les rayons du système focal qui répondent à cette condition, et qui sont situés dans un même plan quelconque tt,, forment un faisceau de rayons dont le centre est le pôle de ce plan.

Soient a et at deux droites coordonnées quelconques ; la ponctuelle a est perspective au faisceau de plans a{ qui lui est coor-

mGG GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XIX.

donné, et, pareillement, la ponctuelle at est perspective au faisceau de plans a. 11 s'ensuit que :

Tout rayon coupant deux droites coordonnées a et a, d'un s) sterne focal est un rayon directeur de ce système, et, vice versa. tout rayon du système focal coupant une droite a est dans un même plan avec la polaire at de celle droite.

( ionséquemment :

Dans tout système focal, deux couples de droites coordonnées son! des rayons appartenant au même système de génératrices d'une surface doublement rectiligne, dont le second système est composé des rayons directeurs du système focal.