I. — Divers modes de génération des coniques gauches

330. Quand deux gerbes collinéaires, S et St, ne sont ni concentriques ni perspectives, et ji'ojiI ni rayon ni plan uni, le lieu des points d'intersection des couples de raj ons correspondants est une courbe qui ne peut être coupée par un plan quelconque en plus de trois jioinis, et qu'on nomme, pour ce motif, courbe

gauche du troisième ordre ou courbe à doubla courbure du troisième ordre.

Un plan quelconque a, ne passant par aucun des deux centres S,. S|, coupera les gei^bes suivant deux systèmes plans collinéaires qui ne seront ni identiques ni perspectifs. En effet, si les deux svs-

(') Pour une étude plus approfondie de la question, on pourra consulter aussi : Cayi.i.Y {Journal de Mathématiques, t. X); CnASLES [Comptes rendu!:, etc., l8.">7) ; Cremona {Journal fur die reine und angewandte Mathematik, t. LV III et LX); {Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e serie, t. I); Ovetei.et 'Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V); Scuroter {Journal fur die reine, etc., t. LAI); Seydewitz {Archiv fur Mathematik und Physih, t. X).

?<(îus nous bornons d'ailleurs à citer une partie des principaux travaux publiés sui la question jusqu'en 1 868. Voir, pour la bibliographie complète des publications postérieures à cette époque, le Jahrbuch ilber die Fortschritte der Mathematik; Berlin, année 18G8 et suiv.

tèmes plans étaient identiques, les gerbes proposées seraient concentriques, ce qui est contraire à l'hypothèse; et, si les <leu\ systèmes plans (''latent perspectifs, ils auraient comme forme unie (246) un faisceau de rayons suivant lequel devraient se couper deux faisceaux de plans correspondants perspectifs de S et de S| ; en d'autres termes, les deux gerbes auraient un plan uni, ce qui csl encore contre l'hypothèse. Les deux systèmes plans situés sur a <uii dès lors (242) un point uni au moins, trois au plus ; et, puisque deux rayons correspondants de S et de S( se coupent en chacun de ces points, la propriété énoncée se trouve vérifiée pour tout plan ne passant pas par S ou par S,.

Si le plan a contient l'un des centres, S par exemple, le faisceau T de rayons situé sur a. et appartenant à S aura pour correspondant un faisceau T, de S,. Dans les faisceaux T etT,, deux couples de rayons correspondants tout au plus se couperont, car, si trois couples se coupaient, T et T, seraient perspectifs, et les gerbes génératrices auraient un plan uni.

Le plan a contient donc trois points au plus, un point au moins 1 S) de la courbe, et cette courbe passe par les centres des gerbes génératrices.

331. Une courbe gauche ne peut pas être d'un ordre inférieur au troisième.

Car on peut toujours trouver, dans une courbe mm plane, trois points où la courbe est coupée par un plan.

332. Une droite ne peut jamais couper une courbe gauche du troisième ordre en plus de deux points.

Car, si une droite avait trois points communs avec la courbe, un plan passant par la droite et par un quatrième point quelconque de la courbe contiendrait plus de trois points de celle-ci.

333. Trois faisceaux project ifs de plans engendrent gênéralement une courbe gauche du troisième ordre.

Soient a, at, a-, trois faisceaux projectifs de plans dont les axes n onl aucun [toi ri I commun. In plan quelconque a les coupe

DIVERS MODES DE GÉNÉRATION DES CONIQUES GAUCHES. 26g

suivant irois faisceaux projectifs de rayons S, S,, S2, qui ont respectivement pour centres les points d'intersection du plan a avec les axes a, at, <t-2. Les faisceaux de rayons S et S| engendrent une conique À qui passe par leurs centres i 0 i- ) ; les faisceaux S el Sj engendrent pareillement une conique A, qui passe parles points S et S;.. Les deux coniques ont le point S commun et peinent se couper encore en un point au moins, en trois points au plus : ces points d'intersection appartiennent à la forme engendrée par les faisceaux de plans, car en chacun d'eux se coupent trois plans correspondants des mêmes faisceaux. La torme engendrée est donc une courbe gauche du troisième ordre.

Nous venons de considérer le cas général où les rayons île S, el de S2 passant par S ont pour correspondants, dans le faisceau S. deux ravons distincts, respectivement tangents aux coniques A et A, . Le point S n'appartient pas, dans ce cas, à la courbe gauche, car il n'est commun ni à Irois rayons correspondants des faisceaux S, S|, S2, ni, par suite, à trois plans correspondants des faisceaux a, (/,, a2- Mais il peut arriver que les deux ravons tangents en S aux courbes A et A, se confondent en une seule tangente commune à ces deux coniques. Le point S appartient alors à la courbe gauche. car il est commun à trois plans correspondants des faisceaux de plans proposés, et les deux coniques qui se touchent en S peuvent avoir tout au plus deux autres points communs. Donc, dans ce cas encore, un plan a. contient tout au plus trois points de la forme engendrée par les trois faisceaux projectifs de plan ».

Trois sécantes quelconques de la courbe gauche peuvent être prises comme axes des trois faisceaux de plans générateurs ; ces faisceaux devront être rapportés projectivement de telle sorte que trois de leurs éléments correspondants quelconques se coupent en un point de la courbe.

33Ì. On peut encore obtenir les courbes gauches du troisième ordre au moyen des surfaces coniques et rectilignes du second ordre.

Si deux surfaces rectilignes, ou une surface rectiligne et une surface conique , ou encore deux surfaces coniques non concentriques, toutes du second ordre , se coupent suivant un rayon a,

>;o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XX.

elles oui aussi e/i commun une courbe gauche du troisième ordre.

Les intersections des deux surfaces par un plan a. soni, eu effet, dans chacun de ces trois cas, des courbes du second ordre, c'està-dire des courbes qui peuvent avoir au plus quatre points communs (160). L'un de ces quatre points est sur le rayon a; les trois autres appartiennent donc à une courbe gauche du troisième ordre.

On peut encore arriver à cette conclusion en considérant les courbes gauches comme engendrées par trois faisceaux projeclifs de plans (333). Nous rappellerons, en effet, que deux de ces faisceaux se coupent suivant une surface conique (63), ou suivant une surface doublement rectiligne (145), selon que îeurs axes sont ou ne sont pas dans un même plan.

La condition du rayon commun « (') peut d'ailleurs être mise en évidence de la manière suivante :

Soient A, B, G, D, E, F six points quelconques d'une courbe gauche k du troisième ordre. Les trois sécantes AB, CD, EF peuvent être considérées comme axes des trois faisceaux générateurs a, a,, a2. Deux quelconques de ces faisceaux engendrent alors une surface doublement rectiligne, et deux quelconques des trois surfaces ainsi engendrées ont en commun, outre la courbe k, l'une des trois sécantes AB, CD ou EF.

Si l'on admet que les faisceaux générateurs a, a{, a2 aient respectivement pour axes les sécantes AB, AC et CD, les faisceaux a et a2 engendreront une surface doublement rectiligne, pendant que a et at engendreront une surface conique du second ordre, et les deux surfaces contiendront la droite AB.

Enfin, si l'on prend comme axes les sécantes AB, AC etBC, deux quelconques des trois faisceaux de plans engendreront une surface conique du second ordre, et deux quelconques de ces surfaces se couperont suivant la courbe k et suivant l'une des trois droites AB, AC ou BC.

(') Cette condition est nécessaire, car l'intersection de deux surfaces du second ordre est en gênerai une courbe du quatrième ordre. Mais nous ne considérons ni ce cas général, ni ceux où la courbe gauche du troisième ordre peut se résoudre en une conique, ou en trois droites, ou même se réduire à une ou à deux droites.