PLAN OSCULATEUR EN UN POINT D'UNE CONIQUE GAUCUE

335. Dans le dernier cas considéré, deux quelconques des trois faisceaux de plans ont pour axes dru\ sécantes qui se coupent eu tin point de la courbe ; les deu\ faisceaux engendrent une surface conique du second ordre qui a ce point pour sommet el qui doit

contenir la courbe. Donc :

Toute courbe gauche du troisième ordre est projetée de chacun

de ses points par une surface conii/ue du second ordre.

Et par suite :

Toute courbe gauche du troisième ordre est projetée de chacun de ses points, sur un plan quelconque, suivant une courbe du second ordre.

C'est à raison de cette propriété qu'on appelle aussi les courbes gauches du troisième ordre coniques cubiques ou coniques gauches.

■ II. — Plan osculateur en un point d'une conique gauche.

336. Construire le plan osculateur en un point A d'une conique gauche k.

On mène la tangente l au point A ; on fait passer par ce point et par la courbe À' une surface conique K, qui contient évidemment la tangente /, et l'on construit le plan w, qui touche la surface conique K suivant cette tangente ; w est le plan osculateur cherché. Si Ton mène un plan par t et par un point P de la conique gauche, et si Ton fait mouvoir le point P sur la courbe, le plan qui passe par ce point tournera autour de t et deviendra osculateur à /.au point A lorsque le point P coïncidera avec le point A; à ce moment, en effet, le plan tournant et la courbe auront trois points communs infiniment voisins.

Pour obtenir la tangente t , il suffit de faire passer par À" deux, surfaces coniques du second ordre quelconques et de déterminer la droite d'intersection des deux plans qui touchent ces deux surfaces suivant les génératrices rectilignes passant par A. Ces plans se coupent, en effet, suivant la tangente t, qui doit se trouver sur chacun d'eux.