CHAPITRE III

«B qui passe par la droite et par j a$ qui est situé sur la droite et sur

le point. J le plan.

Trois points A, B, C, non situes i Trois plans a, (3, 7, qui ne passur une même droite, detenni- sent pas par une môme droite, délient un plan ABC ( le plan de jonc- terminent un point 3c(fy (le point d'intioo . tersection).

Deux droites a et Z>, qui ont un Deux droites a et 6, situées dans point commun, sont dans un même un même plan, ont un point compiali ab. j mun ab.

Ces propositions très-simples font encore ressortir l'utilité d'introduire les éléments à l'infini ou impropres, sans lesquels il n'aurait pas été possible de prendre les énoncés dans toute leur généralité. C'est ainsi, par exemple, que, si l'on faisait abstraction de ces éléments, on devrait énoncer la première proposition à droite de la manière suivante : Deux plans a et (3 déterminent une droite ou sont parallèles entre eux; mais, si l'on fait intervenir les éléments à l'infini, on peut, même dans le second cas, dire que les plans en question déterminent une droite, qui est la droite à l'infini. Des observations analogues pourraient être faites au sujet des autres propositions relatées plus haut.

Les mêmes propositions conduisent aux problèmes suivants :

Faire passer une droite par deux points.

Faire passer un plan par une droite et par un point situe hors de la droite.

Faire passer un plan par trois points.

Faire passer un plan par deux droites qui se coupent.

Trouver la droite d'intersection de deux plans.

Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan qui ne passe pas palla droite.

Trouver l'intersection de trois plans.

Trouver le point d'intersection de deux droites situées dans un plan.

Entre autres propositions douilles, très-usitées, nous citerons les suivantes, à titre d'exemple :

Etant donnés quatre points A, B, G, D, si les droites AB et CD se coupent, les quatre points sont situés dans un même plan ; par suite, les droites AC et BD, AD et BC se coupent aussi.

Étant donnés quatre plans e, |3, y,

3, si les droites a.ô et y§ se coupent, les quatre plans ont un point commun ; par suite, les plans ay et fi$, ad et /3y se coupent aussi.