EXONCE DE LV LOI DE DUALITE. EXEMPLES

plans, l'existence d'une certaine loi de réciprocité ou de dualité qui conduit à concevoir, dans l'espace, le point et le plan comme réciproques; de sorte que toute proposition (quelle que soit la disposition de ses éléments à distance finie ou à l'infini) trouve son complément dans une autre qu'on déduit de la première, en substituant l'un à l'autre les éléments point et plan. par conséquent aussi les formes ponctuelle et faisceau de plans, el ainsi de suite.

Les couples de semblables propositions s'écrivent ordinairement de la manière suivante :

Deux points A et B déterminent ! Deux plans % et fi déterminent

une droite AB qui est leur ligne de une droite afi qui est leur ligue d injonction, tersection.

Une droite a et un point B, non Une droite a et un plan S, ne pas-

situé sur a, déterminent un plan saut pas par a, déterminent un point

€ons de droites. La théorie des pôles et des plans polaires par rapport à une ice du second ordre permet pareillement, dans l'espace, de déduire l'un dé) re deux théorèmes par la substitution réciproque du point et du plan, de \jf jonction de deux points et de l'intersection de deux plans, de l'intersection de trois plans et du plan passant par trois points. Gergonne considéra à un point de vue plus intrinsèque celte réciprocité du point et de la droite dans le plan, du point et du plan dans l'espace, et chercha à la formuler sans avoir recours à la quadrique, dont Poncelet avait fait usage pour l'établir. Mais ta nlfté conception du principe devint ainsi un peu nuageuse; il prit commi» un aspect d'axiome philosophique, très-compréhensible assurément, mais en quelque façon mystérieux, au lieu d'être un théorème fécond de la doctrine des coniques et des surfaces du second ordre.

Observons, toutefois, que la loi de diuTlUé^u de réciprocité en général n'a pas fait sa première apparition dans la Science à l'époque de la controverse dont nous venons de parler. On trouve à ce sujet de précieux renseignements dans la Correspondance mathématique entre Legendre et Jacobi, communiquée par Borciiardt à l'Académie royale de Berlin, dans la séance du n mars iS-5. publiée par Borciiardt dans le vol. LXXX de son journal et reproduite dans les tomes VIII et IX du Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques de MM. G. Darbodx et J. Houel. Il convient de signaler aussi, comme très-intéressant pour l'histoire de la même question, le Mémoire de Kroneceer, intitulé : Bemerkungen zur Geschichtc des fieciprocitât\^ ' gesetzes et inséré dans le Monatsbericltt der koniglich preussischen Akadcmie der JVJSschaften zu Berlin, avril 1S7J, p. 267-27 j.

Si l'on voulait d'ailleurs remonter à la première origine de la loi de dualité, on eri. rouverait des traces dans le triangle réciproque de Viète et d'ALBERT Girard et, sous\ une forme plus évidente, dans le triangle supplémentaire de Snellics (voir Chasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 54—55, 224, 346. Kllcel, MathematisjJics Worterbuch, t. IV, p. 85o.)

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