FAISCEAUX DE PLANS DU TROISIÈME ORDRE

342. Mener d'un point quelconque K. de l'espace une sécante à la conique gauche.

On joint le point K à un point quelconque P de la courbe par une droite g, et l'on fait passer par cette droite deux plans qui ont chacun deux points quelconques, autres que P, communs avec la courbe.

Les droites a et b qui joignent ces couples de points sont situées, avec la conique gauche, sur une surface doublement rectiligne. Cette surface contient aussi la droite g, qui a trois points, ga, gb et P, communs avec elle (148). Le système de droites génératrices de la surface auquel appartiennent les droites a cl b contient donc un ravon qui coupe au point K la droite g de l'autre système et qui est la sécante demandée. •

La construction fournirait le résultat cherché dans le cas même où la sécante serait impropre.

343. Il résulte incidemment de ce qui précède qu'orc peut faire passer une surface doublement rectiligne, et une seule, par une conique gauche k et par une droite g qui coupe la courbe en un point P, mais qui nest pas sécante. Les sécantes à la courbe forment uri système de droites génératrices de la surface' la droite g appartient à l'autre système.

344. Les sécantes propres et impropres d'une conique gauche sont donc complètement déterminées par cette courbe, et deux gerbes collinéaires quelconques, engendrant la courbe, doivent engendrer aussi le système de sécantes. Ainsi se trouve démontré le théorème suivant :

Jjn système de sécantes du troisième ordre est projeté de deux points quelconques de sa directrice par deux gerbes collinéaires ; un tj'oisième point quelconque de la directrice est projeté par deux rayons correspondants des gerbes, et chaque rayon du système est projeté par deux plans correspondants .