IV. — Systèmes de sécantes du troisième ordre
310. Toute sécante d'une conique gauche est la droite d'intersection de deux plans correspondants des gerbes S et S, qui engendrent la courbe.
L'ensemble des droites ainsi déterminées constitue ce qu'on appelle un système de sécantes du troisième ordre, et la courbe prend le nom de directrice du système de sécantes.
Un rayon quelconque du système est désigné spécialement sous le nom de sécante propre, de tangente ou de sécante impropre, selon qu'il coupe la courbe en deux points, ou qu'il la touche en un point, ou qu'il n'a aucun point commun avec elle.
34J. Toute sécante de la courbe étant projetée par deux plans correspondants des gerbes S etS|, il s'ensuit que deux sécantes a et b déterminent deux couples de plans correspondants, et, par suite, les axes de deux faisceaux projectifs de plans qui se correspondent dans les gerbes collinéaires. Ces faisceaux de plans engendrent, soit l'un des systèmes de génératrices d'une surface
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doublement rectiligne, soit une surface conique du second ordre, et la forme engendrée dans l'un ou l'autre cas se compose exclusivement de sécantes de la conique gauche, au nombre desquelles sont les deux sécantes a et b. Il suit de là que :
Par une conique gauche k et par deux sécantes a et b quelconques, on peut toujours faire passer une surface du second ordre.
Si les sécantes a et b se coupent en un point P de la courbe À, la surface du second ordre est une surface conique par laquelle la courbe k est projetée du point P.
Si a et b ne sont pas dans le même plan, la surface est doublement rectiligne et celui des systèmes de génératrices auquel a et b appartiennent se compose de sécantes de k ; l'autre système ne contient aucune sécante, mais chacun de ses rayons a un point commun avec k.
Tout ra} on du premier système est dans un plan avec chacun des rayons du second (141); ce plan et la conique gauche ont généralement, et tout au plus, trois points communs, dont deux seulement peuvent se trouver sur la sécante ou rayon du premier système. Le rayon du second système doit donc contenir le troisième point d'intersection. Mais ce rayon ne peut pas être une sécante, car il est coupé, en dehors de la courbe, par une infinité de sécantes ou de rayons du premier système, et il ne peut y avoir, en dehors de la conique gauche, aucun point par lequel passe plus d'une sécante.
Les rayons du second système sont projetés, des sécantes a été, par deux faisceaux projectifs de plans. En d'autres termes :
La conique gauche est projetée de deux quelconques de ses sécantes par deux faisceaux projectifs de plans, chaque point de la courbe étant projeté par deux plans correspondants des faisceaux.
Celte conclusion s'étend au cas où les sécantes a et b se coupent sur la courbe et sont par conséquent situées, avec celle-ci, sur une même surface conique du second ordre.
