PROJECTIVITÉ DANS LES CONIQUES GAUCHES
perspectifs à une conique gauche I perspectifs à un faisceau de plans du sont projectifs entre eux. troisième ordre sont projcctifs entre
i eux.
352. Rapporter projectivement entre elles deux coniques gauches k et kK de telle sorte qu'aux points A, B, G de Je correspondent respectivement les points A,, B,, C( dek{.
On rapporte projectivement entre eux deux faisceaux de plans, l'un u perspectif à la courbe k, l'autre v{ perspectif à la courbe k{, de telle sorte qu'aux plans uA, ^^B, uG du premier correspondent respectivement les plans v{At, vK B, , v,C( du second.
Deux points des courbes se correspondent quand ils sont projetés par deux plans correspondants des faisceaux u et vt.
Les coniques gauches projeclives sont des formes correspondantes de deux espaces collinéaires.
Soient, en effet, D, E, F trois nouveaux points de la courbe k, auxquels correspondent, dans kt, les points D,, Ex, Ft. Nous pouvons rapporter collinéairement entre eux deux espaces, 2 et 2,, de telle sorte qu'aux cinq points A, B, C, D, E de S correspondent respectivement les cinq points A,, B(, C0 D,, E, de S,. Le faisceau de plans AB(CDEF) a dès lors pour correspondant le faisceau de plans A( B, (C( D, E, F, ) qui lui est perspectif, et le plan ABF de 2 a pour correspondant le plan A< B, F, de 2, .
On démontre de la même manière que tout autre plan de 2, joignant le point F à deux quelconques des points A, B, C, D, E, a pour correspondant le plan de 2, qui projette de F, les deux points correspondants du groupe A, , B( , C, , Dt, E, .
Le point F de 2, comme point d'intersection de trois plans ainsi définis, correspond au point F( de 2l7 considéré comme point d'intersection des trois plans qui correspondent aux trois premiers. Conséquemment, la courbe k, sur laquelle se trouvent les six points A, B, C, D, E, F, doit avoir pour correspondante la courbe kt, à laquelle appartiennent les points homologues A,, B,, Ct, D,, E(, F,; on ne peut, en effet, faire passer qu'une seule conique gauche par six points de l'espace (338).
