DÉTERMINATION DES CONIQUES GAUCHES PAR POINTS ET SÉCANTES

soit coupé par trois quelconques des quatre sécantes données. La droite SS1 ne peut pas d'ailleurs être l'une de ces sécantes, car autrement les gerbes S et S! auraient un plan uni.

Quand trois des sécantes données forment un triangle, la conique gauche passe par les sommets (337).

La courbe est donc déterminée et peut être construite quand on donne cinq de ses points et une sécante.

Nous établirons entre les quatre sécantes a, b, «,, Z», un ordre déterminé de succession, afin que, ces droites élant projetées des points S, S( et d'un troisième point quelconque S2 de la conique gauche, au moyen de trois angles tétraèdres (24), chacun des couples de sécantes a, «, et b, bK soit précisément projeté par un couple de faces opposées.

Menons, dans chacun des trois angles tétraèdres projetants, le plan des deux rayons suivant lesquels les faces opposées se coupent deux à deux; nous obtenons ainsi, dans les gerbes collinéaires S, Sf,. So, respectivement, les plans a, er,, a2, qui sont homologues et qui se coupent, par conséquent, suivant une même sécante s.

Lorsque le point S2 se déplacera sur la conique gauche, le plan <72 tournera autour de la sécante s.

Ces considérations servent de base à une construction très-simple de la conique gauche :

Etant donnés deux points S, S( et deux couples de sécantes a, aK et b, bK de la conique gauche, on fait passer par S deux rayons qui soient coupés, le premier par a et a{, le second par b et bK ; on joint ces deux rayons par un plan a. On détermine pareillement le plan <71 des deux rayons qui passent par S< et qui coupent respectivement les couples de sécantes a, aK et &, bK ; on détermine enfin l'intersection .v des plans a et a{. Tout plan a2 passant par s coupe alors les deux couples de sécantes a, a{ et b, bt en deux couples de points A, A, et B, B,, dont les droites de jonction AA,, BB, se rencontrent en un point S2 de la conique gauche.

On reconnaîtra l'exactitude de cette construction en observant que les deux surfaces doublement rectilignes qui unissent s à a, aK et à b, bt, se coupent suivant la sécante s et suivant la conique gauche cherchée.

XI. — Hexagone et tétraèdre inscrits dans la conique gauche. Congruence.

355. De ce qui a été établi au n° 335 et du théorème de Pascal (68) on déduit que :

Tout hexagone inscrit dans une conique gauche est projeté d'un point quelconque S de la courbe au moyen d'un hexaèdre dont les trois couples de faces opposées se coupent suivant des droites situées dans un même plan a, qui passe par le centre de projection.

Lorsque le point S se meut sur la conique gauche , le plan c tourne autour d'une sécante fixe s, qui est déterminée par deux couples de côtés opposés a, a{ elb, bK de l'hexagone; cette sécante est d'ailleurs commune aux deux surfaces doublement rectilignes qui rattachent la conique gauche aux deux couples de sécantes a, a{ et b, bt.

356. Soit SABC un tétraèdre inscrit dans laconique gauche et soient St, Ai7 B<, C, les points où les tangentes aux quatre sommets S, A, B, G sont coupées par les faces respectivement opposées du tétraèdre. Les points St, A(, B,, C( forment un second tétraèdre qui est en même temps inscrit et circonscrit au premier. Le plan A)B)C(, par exemple, contient le point S. Lorsque ce point se meut sur la courbe, le plan A|B, Ci tourne autour d'une sécante fixe s, et les points A, B, C ne changent pas de position. Le triangle ABC est donc projeté de S par un trièdre inscrit dans la surface conique du second ordre SA", et les tangentes aux points A, B, C sont projetées par les plans tangents suivant les trois arêtes SA, SB, SC. Les trois rayons SA,, SB|, SC,, suivant lesquels les faces du trièdre sont coupées par les plans tangents des arêtes opposées, doivent, par conséquent, se trouver sur un même plan A,B,C,. Si l'on remplace le point S par un autre point S' de la courbe, on obtient, au lieu du plan A,B,C,, un autre plan A', B^ C\ . Ces deux plans se coupent suivant une sécante s, puisqu'ils se correspondent dans les gerbes collinéaircs