HEXAGONE ET TÉTRAÈDRE INSCRITS DANS LA CONIQUE GAUCHE

qui projettent des points S et S' la conique gauche et son système de sécantes.

307. On déduit de cette propriété une importante application relative aux plans osculateurs d'une conique gauche.

Désignons, en effet, par a, b, c les tangentes AA,, BB,, CC, aux points A, B, C et par P le point où la sécante s rencontre le plan ABC. D'après ce qu'on vient de démontrer, la droite d'intersection des plans SBC et Sa et la sécante s doivent se trouver dans un même plan. Quand le point S, se déplaçant sur la courbe, vient à coïncider avec le point A, le plan Sa devient oscillateur au point A, le plan SBC coïncide en même temps avec ABC, et la droite d'intersection de ces deux plans, qui doit toujours couper la sécante.?, se confond avec la droite AP.

On démontre de la même manière que les plans osculateurs des points B et C doivent passer par le point P. Donc :

Les plans oscillateurs en trois points quelconques A, B, C d'une conique gauche se coupent en un quatrième point P du plan ABC.

Il résulte immédiatement de là que :

Par un point quelconque P de l'espace, il ne passe jamais plus de trois plans osculateurs d'une conique gauche, et par une droite, quelconque, jamais plus de deux.

En effet, si les plans osculateurs de quatre points A, B, C, D de la courbe passaient par le point P, les points C et D devraient se trouver sur le plan ABP, ce qui est impossible, puisque le plan peut avoir tout au plus trois points communs avec la conique gauche (' ).

308. Une seconde conséquence du théorème démontré plus haut (356) est exprimée par la double proposition suivante :

Les deux tétraèdres formés, l'un \ Les deux tétraèdres formés, l'un par quatre points d'une conique j par quatre plans d'un faisceau de

(') On énonce ordinairement cette proposition sous une autre l'orme, en exprimant que la courbe du troisième ordre est en même temps de la troisième classe. Rappelons, à ce propos, que la classe d'une courbe gauche est exprimée par le plus grand nombre de plans osculateurs qu'on peut mener à cette courbe par un point.

gauche, l'autre par les quatre plans I plans du troisième ordre, Vautre par

les quatre points de contact de ces plans, sont en même temps inscrits et circonscrits l'un à l'autre.

oscillateurs en ces points, sont en même temps inscrits et circonscrits l'un h r autre.

Cette propriété permet de construire le plan osculateur en un point quelconque d'une conique gauche quand on connaît les plans oscillateurs en trois points.

XII. — Relation entre la conique gauche et le faisceau de plans du troisième ordre.

359. On voit, d'après ce qui précède, que la position de quatre points d'une conique gauche par rapport à leurs quatre plans oscillateurs est identique à la position de quatre points de contact d'un faisceau de plans du troisième ordre par rapport à leurs quatre plans.

Cette observation conduit aux propositions suivantes :

Tous les plans oscillateurs d'une conique gauche forment un faisceau de plans du troisième ordre.

Tous les points de contact d'un faisceau de plans du troisième ordre forment une conique gauche.

Soient a, fi, y les plans respectivement oscillateurs aux points A, B, C de la courbe k, et soit P le point d'intersection de ces plans, situé sur ABC (357).

Quand le point C parcourt la courbe, le plan ABC décrit un faisceau de plans AB, perspectif à À~; ce plan, dans chacune de ses positions, coupe la droite ctft au point P, par lequel passe aussi le plan osculateur y du point C. Le faisceau de plans AB décrit par ABC est donc perspectif à la ponctuelle a(3 décrite par le point afiy ou P pendant le mouvement du plan oscillateur y. Si maintenant on remplace les points A et B par deux autres points fixes quelconques A, et B( de la courbe, et si l'on considère cpie les deux faisceaux de plans AB et A,B,, perspectifs à la courbe, sont projectife entre eux, on est amené à conclure que :

Toutes les ponctuelles sur les lieux desquelles se coupent deux plu //s oscillateurs d'une conique gauche sont rapportées projeclivemenl entre elles par les plans oscillateurs de la courbe.