PROPOSITIONS RELATIVES AUX FORMES ÉLÉMENTAIRES DU TROISIÈME ORDRE
tout point de la courbe par un faisceau de plans du second ordre et coupé par tout plan osculatela- suivant une courbe du second ordre.
3G2. L ne conique gauche et son faisceau de plans osculateurs sont rapportés projectivement entre eux comme formes coordonnées du système focal. Toute troisième forme projective à l'une des deux premières est donc aussi projective à l'autre.
363. Une conique gauche est dé- Un faisceau de plans du troisième
terminée par trois de ses points et ordre est déterminé par trois de ses par les tangentes et les plans oscu~ \ plans et par les rayons et les points lateurs en deux de ces points. \ de contact de deux de ces plans.
En effet (à gauche), la courbe est projetée des deux derniers points par deux surfaces coniques du second ordre qui se coupent sur la conique gauche.
Ces deux propositions, modifiées quant à une seule donnée, s'énoncent le plus souvent de la manière suivante :
Une conique gauche est déter- Un faisceau de plans du troisième
minée par deux de ses points, par ordre est déterminé par deux de ses leurs tangentes et plans osculateurs, plans, pai- leurs rayons et points de et par un troisième plan osculateur. contact, et par un troisième point de
contact.
364. On peut réunir sous une forme analogue, et dans un énoncé commun, quelques-unes des propositions précédemment exposées :
L'ne conique gauche est généralement déterminée quand on donne de cette courbe :
i° Six plans osculateurs ;
2° Cinq plans osculateurs et la tangente dans un de ces plans ;
3° Quatre plans osculateurs et les tangentes dans deux de ces plans ;
4° Trois plans osculateurs et leurs tangentes ;
5° Deux plans osculateurs et quatre axes;
6° Trois plans osculateurs et trois axes;
70 Cinq plans osculateurs et un axe.
Et ainsi de suite.
On peut construire facilement, dans chaque cas, la conique gauche ou le faisceau de plans du troisième ordre osculateur à cette courbe.
Soient donnés, par exemple, comme dans le cinquième cas de l'énoncé, les deux plans oscillateurs a, a^ et les quatre axes a, b, c, d. Les systèmes plans a et a, sont rapportés collinéairement entre eux, et chacun des axes a, b, c, d contient deux de leurs points homologues. Les deux systèmes collinéaires engendrent alors le faisceau de plans du troisième ordre et le système d'axes corrélatif.
On pourra facilement, en se fondant sur ce qui a été exposé, établir les cas particuliers pour lesquels la construction devient impossible, et les cas de dégénérescence analogues à ceux que nous avons rencontrés dans l'étude des formes du second ordre.
/ i ■ ■ ' -y* < lUv' ) FIN DE LA GEOMETRIE DE POSITION.
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