XIII. — Analogie entre les coniques planes et gauches

360. Ces dernières propositions et quelques-unes de celles qui les précèdent mettent en évidence une certaine analogie entre les coniques que nous appellerons planes et les coniques gauches.

L'analogie paraît encore plus complète si l'on considère que toute conique gauche détermine un système focal, de même que toute conique plane peut être prise comme directrice d'un système plan polaire.

Une conique gauche k et le jaisceau de ses plans oscillateurs peuvent être considérés comme deux formes coordonnées d'un système focal dans lequel tout plan oscillateur de la courbe est coordonné à son point de contact et toute tangente à elle-même.

Soient, en effet, A, B, G, D, E, F six points quelconques de la conique gauche k et a, (3, y, ò\ e, <p leurs six plans oscillateurs respectifs. Nous pouvons rapporter réciproquement entre eux deux espaces, 2 et E, , de telle sorte qu'aux cinq points A, B, C, D, E de 2 correspondent les cinq plans a, (3, y, §, e de 2,. La ponctuelle a|3 de 2, correspond alors au faisceau de plans AB de 2 et est une section de ce faisceau, car les trois points aj3y, aj3ò\ aj3e de a(3 sont respectivement situés sur les plans ABC, ABD,ABEdu faisceau AB qui leur correspondent. Par le même motif, tout autre point de 2, commun à deux des plans a, |3, y, d, e est sur le plan de 2 qui lui correspond.

Cela posé, on sait que, quand deux espaces 2 et 2, sont réciproques, ou bien ils forment un système focal, et tout point de 2,

•i86 GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE XX.

est contenu dans le plan de S qui lui correspond, ou bien les points de 2, qui satisfont à cette condition sont situés sur une surface du second ordre.

Cette dernière solution ne peut pas être celle du cas qui nous occupe, car la surface du second ordre devrait avoir quatre droites communes avec chacun des cinq plans oc, (3, y, d, s (par exemple, les droites ajS, ay, ad, ae communes avec a), ce qui est impossible. Conséquemment, les espaces réciproques 2 et 2| forment un système focal, et à un point quelconque F de la conique gauche k est coordonné un plan çp, passant par ce point. Le point F se trouvant sur le plan ABF, ©( doit passer par le pôle de ce plan, c'est-à-dire par le point d'intersection de la droite cefi et du plan ABF ; le plan oscillateur o du point F passe aussi par ce point. Les plans ©, et o ont donc un même point commun avec la droite a(6 ; ils ont pareillement un même point commun avec chacune des droites ocy, oed, ae, (3y, etc. Donc les plans cp, et © coïncident.

La conique gauche À" est appelée directrice du système focal qu'elle détermine.

Cette proposition fournirait d'ailleurs une nouvelle démonstration de la précédente. En effet, dans deux espaces réciproques, toute conique gauche correspond à un faisceau de plans du troisième ordre. Si donc, dans un système focal, la conique gauche est coordonnée au faisceau de ses plans osculateurs, ce faisceau est du troisième ordre.

XIV. — Propositions relatives aux formes élémentaires du troisième ordre.

301. A deux gerbes collinéaires, S et S(, qui engendrent la conique gauche À et toutes ses sécantes, sont coordonnés, dans le système local, deux systèmes plans collinéaires, 21 et S,, qui engendrent le faisceau de plans du troisième ordre osculateur à À et tous les axes de ce faisceau.

A toute sécante de la courbe est coordonné un axe du faisceau de plans. Toute tangente appartient au système de sécantes de la courbe, et par conséquent aussi au système d'axes du faisceau de plans du troisième ordre. 11 résulte incidemment de là que :

Le système des tangentes à une conique gauche est projeté de