FAISCEAUX HARMONIQUES DE RAYONS ET DE PLANS

se coupent en deux nouveaux points L, N, et la droite LN, comme seconde diagonale du parallélogramme ALCX, passe par le point milieu du segment AC. Dans le quadrangle KT.MN, deux côtés opposés, KL et M>~, se coupent

Fis- S.

en A; deux autres, LM et NK, en C; la diagonale LN passe par E et la seconde diagonale, ou la droite à l'infini KM, par 1). Les quatre points A,B,C, D sont donc effectivement harmoniques.

Faisceaux harmoniques de rayons et de plans.

3G. Quatre points harmoniques étant projetés d'un cinquième point S par quatre rayons harmoniques, il en résulte que (35 :

i° Si par le som net S d'un triangle ASC fig. 9 on mène une parallèle d

Ml/

à laJiase AC et une seconde droite b au point milieu B de cette base, les ( côtés a et c. qui se coupent en S, sont Iiarmonique.ment séparés par les payons b et d; en d'autres termes, a, &, r, d sont quatre rayons harmoniques . 2° Toute parallèle à l'un des rayons d'un faisceau harmonique est coupée par les trois autres rayons en deux parties égales.

Si le triangle ASC (i°) est isoscele, b est perpendiculaire sur AC et sur d; b et d sont les bissectrices des angles adjacents formés par a et c; d'où il suit que :

Les bissectrices de deux angles adjacents forment un faisceau harmonique avec les côtés de ces angles.

Réciproquement :

Si, dans un faisceau de rayons harmoniques, deux rayons conjugués sont

rectangulaires , ils sont les bissectrices des angles compris entre les deux autres.

Cette réciproque est une conséquence immédiate de i° . Des propositions analogues peuvent être établies pour les faisceaux harmoniques de plans.