I. — Relations métriques et graphiques. Cas particulier

34. Les propriétés projectives des figures sont les relations de ces figures qui subsistent dans toutes leurs projections. On les distingue en propriétés descriptives ou graphiques et propriétés métriques, selon qu'elles se rapportent à la disposition des figures (alignements de points, communes intersections de droites, etc.) ou aux relations de longueur et plus généralement de grandeur (1).

35. Deux points A et C [fig- 8), équidistants d'un troisième point B, sur une droite, sont harmoniquement séparés par ce dernier et par le point D à l'infini ; en d'autres termes, les quatre points A, B, C, D sont harmoniques.

Prenons, en effet, sur la droite à l'infini d'un plan passant par ABC, deux points IvetM, et joignons-les aux points A et C. Les droites de jonction

(') Voir la lettre de Leibnitzì Hcygexs, 8 septembre 1G79, divers Mémoires d'EuLER, de Vasdermonde, etc. (Beuss, Repert. Connu., p. 3o)et spécialement Poncelet, qui a introduit les expressions graphique et métrique {Traite des propriétés projectives des figures, etc. Paris, 1822, n° 6-7, et 1866, t. II, n° 107).

Desaugues, Pascal, La Hire et Le Poivre ont fait usage des deux genres de relations des figures : des relations descriptives ou graphiques, en appliquant la perspective à la transformation des figures ; et des relations métriques, par l'emploi répété de la proportion harmonique, de la relation d'involution et de diverses autres propositions appartenant à la théorie des transversales.

La Géométrie descriptive de Monge repose sur une généralisation très-étendue des propriétés graphiques. La Géométrie de position de Carxot ne traite, au contraire, que des relations métriques. Les travaux de ces deux savants offrent de beaux exemples d'application des deux méthodes à la démonstration des mômes théorèmes. (Voir Cuasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 183;, p. 2 11-21 3.)