FORMES A TROIS ÉLÉMENTS UNIS

on doit conclure que tous les éléments des ponctuelles proposées sont unis.

On démontre la même propriété, pour deux faisceaux de rayons ou de plans qui ont trois éléments unis, en coupant les faisceaux par une même transversale.

Donc, si deux formes fondamentales projectives simples n'ont pas tous leurs éléments unis, elles ne peuvent avoir plus de deux éléments unis.

V. — Formes à trois éléments unis. Conditions pour que deux ponctuelles projectives non superposées deviennent perspectives.

4-4. Il résulte de ce qui précède que, si une ponctuelle et un faisceau, ou un faisceau de rayons et un faisceau de plans, sont projectifs et ont trois éléments unis, la première forme est une section de la seconde.

.45. Si deux ponctuelles projec- I Si deux faisceaux projectifs de tives, u et «! [fi g, i4)> situées dans I /ayons, S et Sx {fig. l5), situés dans

Fie. i4.

un même plan, mais non superposées, ont comme point uni leur intersection A, elles sont sections d'un même faisceau de rayons et par conséq u en t perspectives.

En effet, deux points quelconques B et C de u sont joints à leurs correspondants respectifs Bj et Ct de «!, par les droites b et c qui se coupent en un point S. Les deux

Fig. r5.

un même plan, mais non concentriques, ont comme rayon uni la droite a qui joint leurs centres , ils sont projections d'une même ponctuelle et par conséquent perspectifs.

En effet , deux rayons quelconques b et c de S sont rencontrés par leurs correspondants respectifs bY et cl de S aux points B et G d'une droite uA. Les deux ponctuelles

faisceaux de rayons par lesquels les ponctuelles u et uï se projettent de S sont identiques, puisqu'ils sont projectifs et qu'ils ont trois rayons unis SA, SB, SC ou a, b, c

En projetant les figures de ces dans l'espace, en dehors de leur veaux théorèmes suivants :

Si (leur faisceaux projectifs de rayons, concentriques mais situés clans deux plans différents, ont comme élément uni la droite d intersection de ces plans, ils sont sections d'un même faisceau de plans et par conséquent perspectifs.

46. Deux ponctuelles projectiles, u et uit étant sur deux droites différentes, si trois points quelconques Ti, C, D de l'une («) sont joints aux trois points Bj, Cj, D{, qui leur correspondent sur rati tre ( «j ) par trois rayons concourant eu un même point S, les deux ponctuelles so/it sections du faisceau S de rayons, par suite perspectives, et toutes les droites qui joignent deux points correspondants passent par S.

En effet, les faisceaux projectifs des rayons par lesquels les deux ponctuelles sont projetées du point Sont trois rayons unis, BBi, CCj, DDj, et par conséquent tous leurs rayons unis.

suivant lesquelles la droite u coupe les faisceaux S et Sj sont identiques, puisqu'elles sont projectives et qu'elles ont trois points unis ua, ub, uc ou A, B, C.

deux théorèmes d'un point pris plan, on obtient les deux nou-

Si deux faisceaux projectifs de plans, dont les axes se coupent, ont comme élément uni le plan déterminé par ces axes, ils sont projections d'un même faisceau de rayons et par conséquent perspectifs .

Deux faisceaux projectifs de layons, S et S, , ayant des centres différents, si trois rayons quelconques b, c, d de l'un (S) sont coupés par les trois rayons l'v, cl, <Y,, qui leur correspondent sur l'autre (Si) en trois points situés sur une même droite u, les deux faisceaux sont projections de la ponctuelle u, par suite perspectifs, et tous les points où se coupent deux rayons correspondants sont sur u.

Eu effet, les ponctuelles projectives suivant lesquelles les deux faisceaux de rayons sont coupés par la droite u ont trois points unis, bbu cci, dd{, et par conséquent tous leurs points unis.

En projetant les figures d'un point quelconque de l'espace on aura les théorèmes analogues pour deux faisceaux de rayons ou de plans dans la gerbe.

FORMES RAPPORTÉES PROJECTIYE.MEXT ENTRE ELLES. 47