VI. — Formes rapportées projectivement entre elles

47. Pour rapporter projectivement deux formes fondamentales simples, il suffira de prendre arbitrairement trois couples d'éléments correspondants; tout élément de Tune des formes aura alors son correspondant déterminé dans l'autre.

Nous nous bornerons à considérer les divers cas qui peuvent se présenter pour deux ponctuelles; on ramènera facilement à ces cas tous ceux qui se rapportent, soit à une ponctuelle et à un faisceau, soit à deux faisceaux, puisqifà tout faisceau peut être substituée sa section par une droite.

Soient donc deux ponctuelles u et «, [fig. i4) qui se coupent et qu'il s'agit de rapporter projectivement l'une à l'autre, de telle manière que le point d'intersection A soit un point uni et qu'aux points B et C de u correspondent les points B, et C, de «,. En ce cas, l'une des ponctuelles est une projection de l'autre (4o) faite du point S d'intersection de BB, etCC,. A un quatrième point quelconque D de u correspondra donc, dans u{, sa projection D,, faite du point S.

Soient encore deux ponctuelles u et «, (Jig. 16), non situées

Fi". 16.

sur la même droite, et qu'il s'agit de rapporter projectivement l'une à l'autre, de telle sorte qu'aux points A, B, C de u correspondent respectivement les points A,, Bt, C| de ut. Prenons sur la droite qui joint deux points correspondants, par exemple sur AA,, un point S différent de A et de A( ; faisons passer par A,

une droite u2} différente de u{ et de AA, et rencontrant la droite u. Projetons la ponctuelle u sur m2 du centre S et soient A2, B2, C2 les projections de A, B, C. Le problème est alors ramené au précédent. Nous n'avons plus, en effet, .qu'à rapporter projectivement les deux ponctuelles u{ et u2 de telle manière que leur point d'intersection A, et A2 soit un point uni et qu'aux points B, etC, de //, correspondent respectivement les points B2 et C2 de «2. Les ponctuelles u et », peuvent ainsi être considérées comme projections d'une troisième ponctuelle «2. Pour déterminer sur », le point D,, correspondant à un point quelconque D de u, nous projetterons, du centreS, DenD2, puis, du centre S,, D2 en D,sur»,.

Enfin, si les ponctuelles u et ui} situées sur la même droite, doivent être rapportées projectivement, de telle sorte qu'aux points A, B, C de u correspondent respectivement les points A,, Bt, C|, de «,, on ramènera ce cas au précédent en projetant », sur une autre droite quelconque «2. Si deux points correspondants quelconques, par exemple A et A,, coïncident, on fait passer z/2 par le point uni qui en résulte et l'on retombe ainsi sur le premier cas.

11 ressort de cette recherche que deux formes fondamentales projectiles peuvent toujours être considérées comme la premièri' et la dernière cV une série de formes dont chacune est' perspective. à celle qui la précède et à celle qui la suit.

Ces considérations n'ont pas seulement pour effet de justifier l'expression de projectivhè ; elles mettent encore en évidence qif à chaque succession continue d'éléments dans l'une des deux formes projectives correspond une succession continue d'éléments dans l'autre. Si donc deux éléments correspondants en engendrent un troisième, l'ensemble des éléments ainsi engendrés doit être aussi une suite continue d'éléments.