BD AD AB

BjD", ~~ bTC^ — DiCi'

Ce résultat met en évidence une particularité remarquable des couples de points correspondants, à savoir qu'o/i peut déterminer sur une ponctuelle des couples de points B, D, tels que leur distance soit égale h celle des points correspondants Bj, Cj ; ou, plus brièvement, qu'on peut déterminer des segments correspondants égaux sur les lieux des deux ponctuelles. En effet, pour que

BD BtD,.

il sufiit qu'on ait

AB D^, et par suite aussi

AD = BiCi; .

c'est-à-dire que, si l'on porte du point A sur le premier lieu un segment AB de grandeur arbitraire, du point Ct sur le second lieu un segment C, D, = AB, et si l'on détermine les points Bj et D qui correspondent à B et à Dj , on a

BD = B^i.

La grandeur du segment AB étant arbitraire, aussi bien que sa direction, on peut déterminer ainsi, sur les deux ponctuelles projectives, un double système de segments correspondants égaux.

Si, par exemple, nous portons de part et d'autre du point A {fi g. 20 sur la ponctuelle u, un segment de longueur quelconque, FA = AG, si nous portons le même segment sur uu de part et d'autre de Ct, de telle sorte que

H, Ci = C1K, = FA = AG,

et si nous déterminons les quatre points correspondants Fi, Gx, II, K, nous aurons, non-seulement

FH — FtH, et GK = G1K1,

mais encore

GH = H, G, et FK = Kxl\.

En effet, C, étant le milieu de Ht Kj et At étant à l'infini, les quatre points H,, C1? Kj, At sont harmoniques (35); dès lors HCKA est aussi un système harmonique; et comme le point C est à l'infini, le point A est au milieu

de HK. Pour le même motif, C, est au milieu de FtGi, et nous avons