III. - Ponctuelles égales et semblables
55. Deux ponctuelles projectives sont dites égales quand on peut les superposer, de telle sorte que chaque point coïncide avec son correspondant.
De l'égalité des rapports anharmoniques on déduit que deux pone-
PONCTUELLES ÉGALES ET SEMBLABLES. 5n
tuclles égales sont projectives (52); vice versa, deux ponctuelles projectiles sont égales lorsque trois couples de points correspondants A, At; B,B,- C,Ci sont placés de telle manière qu'on ait AB = A^, AC — A,C,, et BC = B.C,.
Supposons, en effet, les deux ponctuelles placées dans une position telle cpie les trois couples de segments égaux coïncident par leurs extrémités correspondantes; les deux formes ont alors trois points unis; elles sont <£ar conséquent identiques ou égales (43).
50. .SV une ponctuelle ABCD. . . . est projetée d'un centre situé à l'infini, le segment AB est égal à sa projection A,B,, et la ponctuelle résultante A, Bj Cj D, . ... est égale à la ponctuelle donnée.
Un faisceau de rayons non parallèles est coupé par deux transversales parallèles, situées a égale distance de son centre, suivant les deux ponctuelles égales.
57. Deux ponctuelles projectives sont dites semblables, si les points correspondants déterminent des segments proportionnels.
Si les points à l'infini de deux ponctuelles projectives sont correspondants, lej ponctuelles sont semblables.
En effet, si l'on projette chacune des deux ponctuelles du point à l'infini de l'autre, on obtient deux faisceaux de rayons parallèles, dans lesquels les rayons correspondants se coupent sur une même droite (46). Les segments de cette droite sont alors proportionnels à ceux des deux ponctuelles, et ceux-ci, par conséquent, sont proportionnels entre eux.
On obtient très-facilement deux ponctuelles semblables, soit en coupant, par deux transversales quelconques, un faisceau de rayons parallèles, soit en coupant, par deux transversales parallèles, un faisceau de rayons qui a son centre à distance finie.
En effet, font élément du faisceau de rayons parallèles coupe les ponctuelles en des points correspondants. Les points d'intersection des ponctuelles et d'un rayon situé à distance infinie seront dès lors correspondants. Mais ces points sont eux-mêmes à l'infini; donc les ponctuelles sont semblables.
En ce qui touche le second procédé, les ponctuelles obtenues comme sections du faisceau étant perspectives, tout rayon du faisceau les coupera en deux points correspondants. On aura le même résultat pour le rayon parallèle aux ponctuelles. Or ce rayon les coupe en leurs points à l'infini; donc ces points sont correspondants et par suite les ponctuelles considérées sont semblables.
Go GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AU CHAPITRE VI.
Nous observerons d'ailleurs que les ponctuelles sont perspectives dans les deux cas; que le point uni est généralement à distance finie dans le premier, et qu'il est toujours à l'infini dans le second.
