IV. — Détermination des éléments

GG. Deu.i ■ faisceau. r project if s de [ Deux ponctuelles projectives, u et /ayons, S et Si [fig. 23), étant don- j ux [fig. ?4)> étant données par trois

Fia-. -ï 3.

nés par trois couples de rayons correspondants a et ax,b et 6j, c et c,,

construire autant de points qu'on -voudra de la courbe I; du second ordre sur laquelle les faisceaux se coupent.

On peut résoudre ces problè forme qui soil perspective à c

moniales données.

Par le point d'intersection aal de deux rayons correspondants quel-

Fig. '>',.

couples de points correspondu //ts A et Al5 JB et Bi. C et C{, construire autant de rayons qu'on voudra < lufaisceau K de rayons du second ordreau moyen duquel les ponctuelles sont projetées.

mes en cherchant une troisième liaeunc des deux formes fonda-

Sur la droite de jonction AA, de deux points correspondants quel-

i>i;ti;rmi.\ YTiox des éléments.

conques, a et a{ , des faisceaux projeclifs S et S,, faisons passer deux droites u et uit la première u coupant le faisceau S [abc) suivant une ponctuelle u (ABC ) , la seconde u , coupant le faisceau Sl[albìcì) suivantune autre ponctuelle «, (A^Ci).

Ces ponctuelles sont projectives.

comme sections de faisceaux projectifs. De plus, elles sont perspectives, puisque les points correspondants V et Ai sont unis sur leur point d'intersection (45). Elles sont donc des sections du faisceau S2 de rayons, au centre duquel se coupent les rayons BBj et CCt.

Pour trouver le rayon <7, du faisceau St, correspondant à un rayon quelconque cl de S, projetons, du point Sa, le point d'intersection du ou D sur uy en Dx et menons DjSj.

Cette droite est le rayon cherché d±.

Le point ddy ou P est sur la courbe k du second ordre.

conques, A et At, des ponctuelles projectives u et ul, prenons les centres S et St de deux faisceaux de rayons, le premier S (abc) projetant la ponctuelle «(ABC), le second Sl[alb1cl) projetant la ponctuelle ^(A^C,). Ces faisceaux sont projectifs, comme projections de ponctuelles projectives. De plus, ils sont perspectifs, puisque les l'ayons correspondants a et a{ sont unis sulla droite de jonction de leurs centres (45). Ils sont donc des projections de la ponctuelle u, à laquelle appartiennent les points d'intersection bbx et ccj.

Pour trouver le point Dj de //,, correspondant à un point quelconque D de «, coupons la droite DS ou c? par «2 et projetons, du centre S^ au moyen du rayon dx, le point d'intersection du2 sur la droite //,.

La projection dA ul est le point cherché Dt. Le rayon DDt ou p appartient au faisceau K du second ordre.

Les problèmes suivants se trouvent en même temps résolus :

Trouver sur tout rayon de S ( ou de St) le second point d'intersection, différent de S [ou de S t), avec la courbe du second ordre.

Mener par tout point de u [ou de uv) le second rayon, différent de u [ou de «t), du faisceau du second ordre.

En cherchant, de la manière qui vient d'être indiquée,

les deux rayons correspondants au rayon commun des faisceaux,

les deux points correspondants au point d'intersection des ponctuelles,

on résout les problèmes suivants :

Construire, aux centres de deux faisceaux projectifs de rayons, les

Construire, sur deux ponctuelle* projectives, les points de contact du

faisceau da second ordre engendré par ces ponctuelles.

tangentes àia courbe du second ordre engendrée par ces faisceaux.

67. La con.struclion qui conduit aux solutions précédentes fournit encore un résultat important :

Menons, d'une part, à gauche, le rayon S, S2 ou i?i{, qui est coupé par u au point M et par ut au point M,. Ce rayon a évidemment pour correspondant le rayon S M dans le faisceau S. Dès lors, si D| vient à coïncider avec M,, les points D et P coïncident en même temps avec M. Il s'ensuit que M est le second point d'intersection de la courbe k et de la droite u. Pareillement, le second point d'intersection L, de la courbe k et de a, est situé surla droite SS2.

Il convient de rappeler que les droites u et ut, prises arbitrairement, ne sont assujetties à aucune condition autre que celle de se couper sur la courbe k.

Joignons, d'autre part, à droite, le point d'intersection «, u2 ou Q, au centre S par la droite SQ|. Cette droite contient le point Q de u, qui correspond au point Q| de u, ; SQi est donc un rayon du faisceau K du second ordre. Pareillement, le rayon S,R, qui projette de S, le point d'intersection de u et de u2, est un rayon de K.

Les points S et Sj ont d'ailleurs été arbitrairement choisis sur un rayon a du faisceau K. Le double problème suivant se trouve ainsi résolu :

Une droite quelconque, u, coupant eu un point donné A une courbe k du second ordre, trouver le second point d'intersection de la courbe et de la droite u.

Un point quelconque S étant sur un rayon donné a d'un faisceau K du second ordre, tracer le second rayon du faisceau qui passe par le point S.

Théorèmes de Pascal et de Brianchon.

68. Déterminons, outre les cinq points S, Sj, A, M, L,, un sixième point P de la courbe h. Le point d'intersection D, de SjP et de «, et le point d'intersection Dde SP et de u sont alors, par construction, situes

Construisons , outre les cinq rayons //, //,, SS^ SQj, S, R, un sixième rayon DDt du faisceau K.

Les droites SD et St D,, ou d et du se coupent alors, par construction, sur la droite Q, R ou u%. Mais les trois