THÉORÈMES DE PASCAL KT DE BRIANCHON

sur une droite passant par S2. Mais \ droites concourantes d, dx et us sont les trois points alignés D. D, et S., I les diagonales principales ou droites

sont les points d'intersection des côtes opposés de l'hexagone SPSj M AI4.

de jonction des sommets opposés de l'hexagone SS,RDD,Q,.

Les propositions suivantes se trouvent ainsi démontrées :

Théorème de Pascal (1).

Dans tout hexagone simple, inscrit à une courbe du second ordre, les points de concours des trois couples de cotés opposés sont en ligne droite.

Théorème, de Brianchox.

Dans tout hexagone simple, ayant pour côtés six rayons d'un faisceau

du second ordre, les droites qui joignent les trois couples de sommets opposés concourent en un même point .

(') Ce théorème célèbre, désigné sous le nom à'hexagramme mystique, est contorni dans l'Essai sur /es coniques, opusc. de sept pages in-8°, que Pascal publia quand il avait à peine seize ans. Le but de Pascal, en faisant cette publication, était de soumettre quelques-uns de ses théorèmes au jugement des géomètres avant de pousser plus loin, sur les bases du premier Essai, un travail grandiose qui devait porter le titre de Traité complet des coniques. Pascal écrivait lui-même : Conicorum opus completarli, et conica Apollonii et alia innumera unica fere propositione amplectens; quod quidem n'ondiun sex decimimi œtatis annuiti assecutus exeogitavi, et delude in ordinali congessi (Œuvres de Pascal, t. IV, p. l\io). Mais cet ouvrage ne nous est point parvenu. Leibmtz a eu, pendant son séjour à Paris, le manuscrit de Pascal entre ses mains; il nous l'ait connaître, par une lettre adressée à Pékieu, neveu de Pascal (OEuvres de Pascal, t. V, p. ^by-ffii ), les titres des six parties ou traités dont l'ouvrage devait se composer. L'importance du sujet nous a paru justifier la reproduction sommaire que nous faisons ici de ces titres.

Celui de la première partie nous apprend que Pascal se servait des principes de Ja\ perspective pour engendrer les coniques par le cercle et déduire ainsi leurs pi'ojgriélgsrf' de celles du cercle. Celte méthode, suivant Leidmtz, était le fondement de tout l'ouvrage. La seconde partie roulait sur l'hexagramme mystique. Dans la troisième partie se trouvaient les applications de l'hexagramme, les propriétés des cordes et des diamètres coupés harmoniquement, et probablement, suivant l'opinion de Pon- ^let (Traité des propriétés projectiles, édit. 1822, p. 101), les théorèmes qui constituent la théorie des pôles. La quatrième partie contenait ce qui a rapport aux segments déterminés sur des sécantes parallèles à deux droites fixes, et les propriétés des foyers. Dans la cinquième étaient résolus les problèmes ayant pour objet de décrire une conique qui satisfasse à cinq conditions : passer par des points et toucher des droites. Enfin, la sixième partie avait été intitulée, par Leibnitz, De lotto solido. Quelques mots nous font supposer qu'il pouvait y être question du fameux) problème de Pappcs, Ad très aut quatuor lineas.

Quelques fragments contenaient divers problèmes, parmi lesquels celui de restituitone et un autre, appelé magnum, qui était énoncé dans les termes suivants : Dato puncto in sublimi et solido conico ex eo descripto, solidum ita secare, ut exhibent sectionem conicam datœ similem.

Leibnitz terminait sa lettre précitée par le conseil de livrer le traité sur les coni-

69. Imaginons que, dans l'hexagone SPS,MAL, de Pascal (fig. 23), tous les sommets restent fixes, àl'exception du sommet A, et que celui-ci se meuve sui- la courbe. En ce cas, LtA ou ut pivote autour de Lu MA ou u autour de M, et les points D,D, se meuvent sur les droites fixes d,di, de telle sorte que la droite DD, passe toujours par le point Sg. Le théorème de Pascal est vrai pour tout hexagone ainsi constitué. D et Dj décrivent par conséquent deux formes perspectives, d et di} qui sont des sections du faisceau Sa de rayons, et, dans le même temps, z<t et u décrivent respectivement, autour de L, et de M, deux faisceaux rojectifs de rayons, qui sont les projections des ponctuelles perspectives d et dx. Nous pouvons donc concevoir la courbe k comme engendrée par les faisceaux projectifs de rayons L, et M, dont, les centres sont deux points pris arbitrairement sur la courbe.

Imaginons que, dans l'hexagone SSjRDDtQt de Brianchon [Jig. 24), tous les côtés restent fixes, à l'exception de SSj, et que celui-ci se déplace sans jamais cesser d'être un rayon du faisceau K du second ordre. St décrit alors une ponctuelle SjR ou i\ et S une ponctuelle SQt ou a. Ces deux ponctuelles sont projectives, puisque le point d'intersection des diagonales principales S,Dj et SD se meut, dans le même temps, sur la droite fixe QiR et décrit une ponctuelle ut, à laquelle q et i\ sont perspectives. Nous pouvons donc coJicevoir le faisceau K du second ordre comme engendré par les ponctuelles projectives q et rt , dont les lieux sont deux rayons quelconques du faisceau.

c|iics à l'impression et même d'y procéder avec sollicitude. On ne sait pourquoi ce. conseil n'a pas été suivi, ni comment le manuscrit du célèbre mathématicien a disparu, au grand détriment de la Science géométrique. ( Voir Ciiasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 70-71. — Poncelet, Traité des propriétés projectives, etc. Paris, 1822, n° 202. — Weissenborn, Die Projection in der Ebene. Berlin, 1862, Vorrede).

Quant au théorème de Brianchon, cet habile mathématicien l'a donné pour la première l'ois, comme conséquence de celui de Pascal, dans un écrit intitulé : Mémoire sur les surfaces courbes du second degré {Journal de l'Ecole Polytechnique, XIII" cahier, 180G, p. 297-jii). C'est le premier exemple qu'on ait d'un théorèm» déduit d'un autre par la simple considération des polaires réciproques. Dans sojf Mémoire sur les lignes du second ordre (Paris, 18 17, in-8°), le même auteur, s'appuyant sur le théorème de Desargues, que nous démontrerons plus loin, a résolu d'une manière très-simple les diverses questions relatives à la construction d'une conique déterminée par cinq conditions de passer par des points et de loucher des droites. (Voir CHASLES, Rapport sur les progrès de la Géométrie. Paris, MDCCCLXX, p. 28.)