CHAPITRE VII

Vili. — Conditions pour que deux courbes ou deux faisceaux de rayons du second ordre coïncident.

72. Deux courbes du second ordre coïncident quand elles ont en commun cinq points, ou quatre points et la tangente en l'un d'eux S, ou trois points et les tangentes en deux de ces points, S etS^

Projetons tous les points des deux courbes, du point commun S, au moyen d'un faisceau de rayons; ce faisceau est projectif à deux autres, qui projettent les deux courbes, du point commun S,. Mais ces derniers faisceaux sont identiques, puisqu'ils ont, dans tous les cas de l'énoncé, trois rayons unis, savoir : dans le premier cas, trois rayons allant aux trois points, autres que S et St, communs aux deux courbes ; dans le second cas (les deux courbes ayant une tangente commune en S), deux rayons allant à deux points communs et le rayon S! S; enfin, dans le troisième cas, qui est celui des tangentes communes en S et en St, un rayon allant au troisième point commun, le rayon S^ et la tangente commune en Sj. Tout rayon de S projette donc un point commun aux deux courbes.

Deux faisceaux de rayons du second ordre coïncident quand ils ont en commun cinq rayons, ou quatre rayons et le point de contact sur Vun d'eux u, ou trois rayons et les points de contact sur deux d'entre eux, u et ul.

Coupons tous les rayons des deux faisceaux, au moyen du rayon commun u, suivant une ponctuelle; cette ponctuelle est projective à deux autres, suivant lesquelles les deux faisceaux sont coupés par le rayon commun iti. Mais ces dernières ponctuelles sont identiques, puisqu'elles ont, dans tous les cas de l'énoncé, trois points unis, savoir : dans le premier cas, trois points situés sur les trois rayons, autres que u et «,, communs aux deux faisceaux; dans le second cas (les deux faisceaux ayant un point de contact commun en «), deux points situés sur deux rayons communs et le point u «, :

enfin, dans le troisième cas, qui est celui des points de contact communs sur u et sur ut, un point sur le troisième rayon commun, le point uuï et le point de contact commun sur Wj. Par tout point de u passe donc un rayon commun aux deux faisceaux.

De ce qui vient d'être établi, nous pouvons encore conclure que :

Une infinité de courbes du second ordre peuvent avoir en commun q uatre

Une infinité de rayons du second ordre peuvent avoir en commun quatre