SYSTEMES HARMONIQUES DANS LA COURBE ET DANS LE FAISCEAU, ETC

Nous avons ainsi établi la généralité des théorèmes de Pascal et de Brianchon et nous avons, en même temps, donné une démonstration des propositions sommairement déduites au n° Go.

VI. — Relation entre les courbes et les faisceaux du second ordre.

70. De ce qui précède et des propriétés antérieurement établies (64), il résulte que :

Par tout point d une courbe du j Sur tout rayon d'un faisceau du second ordre passe une tangente à la 1 second ordre est situe un point de courbe. j contact du faisceau.

Il suit de là que toute courbe du second ordre est enveloppée par un système de tangentes et que tout faisceau de rayons du second ordre enveloppe un système de points de contact.

Nous vérifierons par la suite (85 et suiv.) que ce système de tangentes et ce système de points de contact sont respectivement un faisceau de rayons et une courbe du second ordre.

VII. — Systèmes harmoniques dans la courbe et dans le faisceau de rayons du second ordre.

71. Quatre points d'une courbe du second ordre sont dits harmoniques, quand les rayons qui les projettent d'un point quelconque, et par conséquent d'un cinquième point quelconque de la courbe, forment un faisceau harmonique.

Quatre rayons d'un faisceau du second ordre sont dits harmoniques, quand ils sont coupés par une droite quelconque, et par conséquent par un cinquième rayon quelconque du faisceau, en quatre points harmoniques.

Étant donnés, par conséquent, trois points d'une courbe, ou trois rayons d'un faisceau du second ordre, on peut déterminer immédiatement et construire le quatrième harmonique, pourvu que l'on connaisse celui des trois éléments donnés dont ce dernier doit être séparé.