I. — Conception de la tangente et du point de contact

78. "Nous avons appelé tangente à la courbe du second ordir en un point S, (fig. il ) une droite pt qui n'a que le point Sj commun avec la courbe, et nous avons trouvé qu'il n'existe qu'une seule tangente pour chaque point de la courbe ( 64).

(') La fécondité de Yhexagramme mystique est telle que Pascal a pu faire de cette propriété la bas:- du Traité complet sur les coniques, dont nous avons précédemment parle! Pascal, . suivant le rapport du P. Mebsenne, a ainsi déduit quatre cents J ^corollaires d'un seul principe : « Unica propositione universalissima, Zjoo corollari-i*^ « armata, integrimi Apollonium complexus est. » (De mensuris, pondérions, etc..

Il est à remarquer que chacun des corollaires principaux exprimait une propriété déterminée de six points situés sur une conique. On comprend dès lors que Pascal ait pu déduire ces corollaires de Yhexagramme mystique, qui est lui-même une propriété générale de >ix points. Chacun des corollaires principaux se présentait d'ailleurs sous une forme distincte et servait de point de départ pour la déduction de toute une classe de propriétés des coniques. Cet art éminemment utile de déduin- /d'un seul principe un très-grand nombre de vérités constitue la superiorite-.de. i)"méthodes sur celles des géomètres anciens.

Il résulte de la courte iNotiee précédemment consacrée à l'hexagramme mystique (p. 69), que depuis i6'|0 jusqu'à 1806, c'est-à-dire depuis l'époque où le célèbre

8o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE VIII.

Tout autre rayon a, passant par S, rencontre donc la courbe en un second point A. Quand on l'ait pivoter le rayon a, autour de S,, le point A décrit la courbe, et il s'approclie infiniment du point Sj lorsque le rayon a, s'approche infiniment de la tangente pt. La tangente représente done la position limite de la droite qui joint

théorème a été découvert jusqu'à Brianchon, aucun géomètre n'a cherché à profiter d'une propriété si féconde. Dans le siècle présent, au contraire, un grand nombre de géomètres éminents se sont occupés du théorème de Pascal. Il nous parait utile de signaler ici quelques-unes de leurs principales recherches.

L'attention des savants a été d'abord attirée sur ce sujet par Steiner (Théorèmes sur l'hexagrammum mysticum, dans les Annales de Mathématiques pures et appliquées de Gergonne, t. XVIII, 1827-28, p. 33g. — Théorèmes sur l'hexagrammum mi sticum, dans le Journal fur die reine und angewandte Mathematik. Herausgegeben von A.-L. Crelle. Band 24, erstes Heft, p. !\o. — Sjrstematische Entwickelung, etc. Berlin, i832, pag. 3n-3i2). Steiner a démontré que, six points d'une conique pouvant donner lieu à soixante hexagones distincts, les soixante droites de Pascal correspondantes se coupent trois à trois en vingt points G, appelés points de Steiner. Il a cru de plus que ces vingt points étaient distribués quatre à quatre sur cinq droites concourantes. . Plùcker a signalé l'inexactitude de celte dernière conclusion et affirmé que les vingt points G sont situés quatre à quatre sur quinze droites ( Ueber eia nettes Princip der Geometrie und den Gebrauch allgemeinèr Symbole und unbestimmter Coëfficienten, dans le Journal de A.-L. Crelle, t. V, i83o, pag. 275).

Hesse a repris ces recherches et trouvé que les vingt points de Steiner sont conjugués deux à deux par rapport à la conique fondamentale des six points. Il a fait voir que la figure de Steiner est identique à celle que forment trois triangles, perspectifs deux à deux par rapport à un même centre. Les neuf côtes des trois triangles, les (rois droites qui concourent au centre commun et les trois droites de perspective représentent les quinze droites des vingt points G ( Ueber dus geradlinige Sechseck auf dem Hyperboloid, dans le Journal de A.-L. Crelle, t. XIV, i8;J2, p. 4o. — Einige Bemerkungen zum Pascal' schen Theorem, dans le Journal de A.-L. Crelle, t. XLI, i85i,p. 269).

Cavley a repris la ligure de Steiner et s'est préoccupé surtout de représenter les droites par des notations abrégées {Sur quelques théorèmes de ta Géométrie de position, dans le Journal de A.-L. Crelle, t. XXXI, i8'|6, p. 216, et t. XXXIV, isi;. p. 272).

Grossmann ( Ueber einc neuc Eigenschaft der Steiner schen Gegenpunkte des Pascal'schen Sechsechs, dans le./oM/7/rt/deA.-L. Crelle, t. LVIII, 1861, p. 174-179) et Staudt {Ueber die Steiner' schen Gegenpunkte, welche dttrch zwei in eine Curve zweiter Ordnung, beschriebene Dreiecke bestimmt sind, dans le Journal de A.-L. Crelle. t. LX1I, i865, p. i42-i5i) se sont aussi occupés des vingt points de Steiner, en partant l'un et l'autre de la considération de deux triangles inscrits dans la conique.

kiuKMAN a démontré que les soixante droites de Pascal, fournies par les soixante hexagones, non-seulement se coupent trois à trois aux vingt points G, mais se rencontrent encore trois à trois en soixante autres points, qu'on a nommés points de. Kiukman. Il m démontré en outre que ces soixante points soni alignés deux à dëïTX BHr quatre-vingt-dix droites, qui concourent respectivement avec deux des quinze droites lournies par les six points de la conique fondamentale ( On the complete hexagon

CONCEPTION DE LA TANGENTE ET 1)1 POINT DE CONTACT. 8l

deux points de la courbe se rapprochant infiniment l'un de l'autre. Une définition aussi générale est applicable, non-seulement aux courbes du second ordre, mais a des courbes quelconques.

Le point Pj {fig- 22), par lequel passe un seul rayon uy d'un faisceau K du second ordre, a reçu le nom de point de coniaci du faisceau sur le rayon ut. On a vu que chaque rayon du faisceau K contient un seul point de contact (64), tandis qu'un second rayon a du faisceau passe encore partout autre point Aj de u1. Quand on fait mouvoir Aj sur ui} a parcourt le faisceau K et s'approche infiniment du rayon ut quand Aj devient infiniment voisin du point P,. Le point de contact sur le faisceau de rayons représente donc la position linai/- du point d'intersection de deuxra\ on s du faisceau qui vont se rapprochant infiniment l'un de l'autre.

Cela posé, si dans l'hexagone inscrit à une courbe du second ordre deux sommets quelconques se rapprochent infiniment l'un de l'autre, le côté qui les joint se trouvera remplacé par une tangente à la courbe. Et si, dans un hexagone dont les côtés sont

inscribed in a com'c section, dans le Cambridge and Dublin mathematica! Journal, t. V, iS5o, p. i85).

Salmon et Cayley ont établi en même temps que les soixante points de Kirkman reposent trois à trois sur vingt droites (Sur quelques théorèmes de la Géométrie de position, clans le Journal de A.-L. Crelle, t. XLI, i85i, p. 66 et 8/|). — Salmon a dé- HftTntré ensuite que ces vingt droites concourent quatre à quatre en quinze points, appelés points de Salmon, et que chacune d'elles passe par un seul point de Steiner ' A Treatise on conic sections, lift h éd., London, 18G9, p. 2ò\. 26s. 289, io;, 36o, 36i).

Dans un autre travail très-important [Anal) lische Geometrie dei- Ebene. Bemerkuii" ( Journal de A. -L. Crelle, t. LXVIII. 18GS, p. ig3)], Hesse a signalé une certaine correspondance de réciprocité entre les soixante droites de Pascal et les soixante points de Kirkman; entre les vingt points de Steiner et les vingt droites indiquées par Salmon et Cayley; entre les quinze droites de Plùcker et les quinze points de Salmon; mais il n'est pas arrivé à établir cette correspondance d'une manière complète.

Il convient de citer encore, à ce dernier point de vue, les travaux de Baur ( L'eber das Pascal' sche Theorem, dans les Abhandlungen der h. baver. Akademie der U'issenschaften, II CL, t. III, 187^) et les recherches de Veronese [Nuovi teoremi suit hexagrammum mrsticum, dans les Memorie della classe di Scienze fisiche, matematiche e naturali della Reale Accademia dei Lincei , anno CCLXXIV (1876- — , voi. I, Roma,iS--

Voir aussi: Ciiasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1807, P- 72 et Note XIII. — Weissesborn, Die Projection in der Ebene. Berlin, 1862, Vorrede, p. XI. — G. Salmon, Traité de Géométrie analytique {sections coniques), traduit par H. Resal et Y.Yau- Ciieret, Paris, Gauthier-Villars, 1870, p. 3)0, 53o. — Quarterlr journal of pure and applied Mathematics, t. IX, p. 3'|8. — Cremona, Teoremi stereometrici dai quali s-i deducono le proprietà dell' 'esagrammo di Pascal, dans les Atti della lì. Accademia dei Lincei, Roma, 1S77.

des rayons d'un faisceau de second ordre, deux côtés voisins se rapprochent infiniment l'un de l'autre, le sommet sur lequel ils se coupent se trouvera remplacé par un point de contact du faisceau.

Suivant que un, deux ou trois couples d'éléments voisins coïncident, l'hexagone se transforme en un pentagone, en un quadrangole ou en un triangle.

II. — Modification des théorèmes pour le pentagone, le quadrangle et le triangle. Problèmes.

79. Pour le pentagone, les théorèmes de Pascal et de Brianchon s'énoncent ainsi :

Dans tout pentagone inscrit à une

courbe du second ordre, les points d'intersection de deux couples de côtés non consécutifs et le point d'intersection du cinquième coté et de la tangente au sommet opposé sont trois points situés sur une même droite.

Dans tout ])cntagone dont les côtés sont des rayons d'un faisceau du second ordre, les diagonales qui joignent deux couples de sommets non consécutifs et la droite qui joint le cinquième sommet au point de contact du côté opposé sont trois droites qui se coupent en un même point.

Cette double proposition permet de résoudre les problèmes suivants :

Étant donnés cinq points quelconques d'une courbe du second ordre, construire les tangentes- en ces points en ne faisant usage que de la rè si e .

Etant donnés cinq rayons quelconques d'un faisceau du second ordre, construire les points de contact sur ces rayons en ne faisant usage que de la règle.