DIVERSES ESPÈCES DE COURBES DU SECOND ORDRE

Poncelet, Traité des propriétés projectiles, etc. Paris, 1822, n° 112-113. — Steiner, Systematische Entwichelung, etc. Berlin, i83a, § 36- r\o. — Zecii, Die hôhere Geometrie, etc. Stuttgart, 1867, § [\. — Cremona, Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane, Bologna, 1862, Art. XI. — Reye, Die Geometrie dcr Lage. Hannover, 1866, p. 74-76. — Steiner, J'orlesiingen ììber synthetische Geometrie, Leipzig, 1867, li Theil, § 2.5-26. — ■ Staudigl, Lehrbuch dcr neueren Geometrie, Wien, 1870, p. io/j-h'i- — Fiedler, Die darstellende Geometrie, etc., Leipzig, 1871, § 24-26.- — ■ Miller, Lcitfaden dcr ebenen Geometrie, etc., Leipzig, 1875, IV Cursus. — Hankel, Die Elemente der projeeth'ischen Geometrie, Leipzig, 1876, VI Abschn. § 3, io.

I. — Distinction basée sur les éléments communs à la courbe et à la droite à l'infini de son plan.

95. On a vu (62) qu'une courbe du second ordre ne peut jamais avoir plus de deux points communs avec une droite. Nous allons déduire de cette propriété d'importantes conséquences

(l) Les sections des divers cônes de rotation, laites au moyen d'un plan perpendiculaire à un côté, lurent étudiées et classées par Menechhe, pou de temps après Platon (voir Reimer, Hist. dup. cubi, p. 58). On n'a pas conservé les écrits (I'Aristée et d'EucLiPE sur les coniques. Archimede connaissait ces courbes comme sections des cônes de rotation et l'on trouve dans ses écrits les noms d'ellipse et A' hyperbole {Cou. et sph., p. (S et suiv.). Voir à ce sujet les éclaircissements donnes par Proclus {Prodi Dìadochi in primum Euclidis elementorum librimi commentarla, ed. BarOCIUS. Palavii, i56o, p. '>6'|) et les appréciations différentes de Canton {Euclid und sein Jahrhundert, Leipzig, 1867, p. 49) et de Hankel {Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittclalter, Leipzig, 1874, p. 99).

Apollonius a démontré que les coniques sont des sections de tout cône sur lequel on peut placer un cercle et les a désignées sous le nom qu'elles portent encore, aujourd'hui {Conica I). (Voir Die Elemente der Mathematik von Dr Richard Baltzer, zweiter Band, dritto Auflage, Leipzig, 1S70, p. 157. — Ciiasles, Aperçu historique, etc., Bruxelles, 1837, p. 17 et 52g-53o).

DISTINCTION BASÉE SUR LES SECTIONS PLANES DUNE SURFACE CONIQUE. g'j

relatives au nombre de points qui peuvent être communs à une telle courbe et à la droite à l'infini du plan dans lequel elle se trouve. Trois cas peuvent se présenter : il n'y a pas de points communs, ou il v a un seul point commun, ou enfin il \ a deux points commun-.

Dans le premier cas, tous les points de la courbe soni des points propres et toutes ses tangentes soni des rayons propres du plan ; la courbe prend alors le nom à'ellipsc.

Dans le deuxième cas, la courbe s'étend à l'infini suivant deux rameaux qui tendent vers le point où elle touche la droite à l'infini : elle prend alors le nom de parabole.

Dan- lf troisième cas, la courbe est formée de deux branches courbes, dont les doubles rameaux s'étendent vers les deux points à l'infini qui -ont les points de jonction des deux branches entre elles; la courbe prend alors le nom àUvyperbole.

L'hyperbole étant coupée par la droite à l'infini du plan, toutes ses tangentes sont des droites propres du plan. Tel est, en particulier, le cas des tangentes aux deux points à l'infini de la courbe ; ces tangentes prennent le nom d'as) mptotes.

II. — Distinction basée sur les sections planes d'une surface conique.

96. Nous pouvons encore obtenir les mêmes formes de courbes du second ordre en pratiquant de- sections planes dans une surface conique quelconque du second ordre, dont le centre n'est pas situé à l'infini.

Un plan Z, passant par le centre, n'a que ce point commun avec la surface conique, ou bien il touche cette surface suivant un rayon .s-, ou bien enfin il la coupe suivant deux rayons p et <•/ .

Dans le premier cas, tout plan 2^, parallèle à S, rencontre tous les rayons de la surface conique en des points propres et coupe la surface conique elle-même suivant une ellipse.

Dans le deuNième cas, la courbe d'intersection est une parabole. puisque le rayon s, parallèle à It, est coupé par ce plan en un point à l'infini ; la droite d'intersection de Zj avec le plan tangent S est précisément la tangente à l'infini de la parabole.

Dans le troisième et dernier cas, la courbe d'intersection est

9i GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE I\.

une hyperbole, puisque les rayons p et q sont coupés par le plan Sj en leurs points à l'infini. Les plans tangents à la surface conique en p et q sont coupés par St suivant les asymptotes de L'hyperbole et cette courbe se compose de deux branches, puisque les deux moitiés de la surface conique sont coupées par St. Nous pouvons concevoir l'hyperbole , aussi bien que toute autre courbe du second ordre, comme une courbe fermée rentrant en elle-même, car toute surface conique au moyen de laquelle elle se projette est une surface fermée rentrant en elle-même.

III. — Couples d'éléments parallèles dans les faisceaux générateurs. Cas particuliers.

97. Etant donnés, en général, deux faisceaux projectifs de rayons, S et St, imaginons que le premier reste fixe, pendant que le second, sans tourner autour de son propre centre, se transporte parallèlement à lui-même jusqu'à ce que le point Sj vienne coïncider avec le point S (ou, ce qui revient au même, menons par le point S des parallèles à tous les rayons du faisceau S,). Nous obtenons ainsi en S deux faisceaux de rayons concentriques et projectifs qui peuvent donner lieu aux trois cas suivants : les deux faisceaux n'ont aucun élément uni, ou ils en ont un, ou ils en ont deux. Nous ne considérons pas le cas où le nombre des éléments unis serait supérieur à deux, parce que, comme on l'a vu (43), les deux faisceaux seraient alors identiques.

Supposons maintenant que le faisceau St soit de nouveau déplacé parallèlement à lui-même jusqu'à ce qu'il ait repris sa position primitive; les rayons unis singuliers deviendront alors des couples de rayons parallèles entre eux et, selon que le nombre de rayons de cette sorte sera zéro, un ou deux, la courbe du second ordre engendrée par les faisceaux projectifs de rayons sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

98. il convient d'observer que le lieu du second ordre, engendré par deux faisceaux projectifs de rayons, peni encore se résoudre :

i° En deux droites distinctes, si les faisceaux soni perspectifs et non concentriques (les deux droites sont : le rayon correspondant