CHAPITRE Vili

dehors de leur plan , au moyen d'une surface conique et d'un faisceau de plans du second ordre. Toute tangente à la courbe est projetée au moyen d'un plan qiti a un seul ravon commun avec la surlace conique et qui, pour ce motif, est appelé plan de contact. De même, tout point de contact du faisceau de rayons du second ordre est projeté au moyen d'un rayon, dit rayon de contact du faisceau de plans, par lequel ne passe qu'un seul plan de ce faisceau.

Réciproquement, toute surface conique et tout faisceau de plans du second ordre sont coupés, par un plan qui ne contient pas leur centre, suivant une courbe et suivant un faisceau de rayons du second ordre ; il s'ensuit que :

Tous les ]>lans de contact d'une surface conique du second ordre forment un faisceau de plans du second ordre.

Tous les rayons d'une surface conique du second ordre sont projetés de deux quelconques d'entre eux au moyen de faisceaux project ifs de plans.

Tous tes rayons de contact d'un faisceau de plans du second ordre forment une surface conique du second ordre.

Tous les plans de contact d'une surface conique du second ordre sont coupés par deux quelconques d'entre eux suivant des faisceaux projectifs de rayons.

IX. — Systèmes harmoniques dans la surface et dans le faisceau.

93. Par analogie avec ce qui a été précédemment établi (71), nous dirons que :

Quatre rayons d'une surface conique du second ordre sont harmoniques, quand ils sont projetés d'un rayon quelconque, et par conséquent d'un cinquième rayon quelconque de la surface, au moyen de quatre plans harmoniques.

Quatre plans de contact d'une suif ace conique du second ordre sont harmoniques, quand ils sont coupés par un plan quelconque, et par conséq tient par un cinquième plan quelconque du faisceau, suivant quatre rayons harmoniques.

X. — Théorèmes de Pascal et de Brianchon étendus aux surfaces coniques

du second ordre.

94. Les théorèmes de Pascal et de Brianchon, pour les surfaces coniques du second ordre, s'énoncent ainsi :

THÉORÈMES DE PASCAL ET DE BRUNCHON ÉTENDUS AUX SURFACES, ETC. f)I

Dans tout hexaèdre inscrit à une sur/are conique du second or die, les trois couples de plans [faces] opposés se coupent suivant trois droites situées dans un même plan.

Dans tout hexaèdre circonscrit à une surface conique du second ordre, les trois plans diagonaux principati.' se coupent suivant une même droite.

On pourra, par voie d'analogie, transporter dans la gerbe toutes les autres propositions que nous avons déduites, pour 1rs formes planes, des théorèmes de Pascal et de Brianchon (').

(') Chasles [Aperça historique, etc. Bruxelles, iS.'J-, p. 2 '| .3-2 '| G ) a signalé l'analogie qui doit exister entre quelques propriétés encore inconnues des surfaces i\u secondcordre et le théorème de Pascal, connue une question d'où dépendent les progrès futurs delà théorie de ces surfaces. Abstraction faite des diverses transformations dont le même théorème est susceptible, Chasles le considère, d'après la l'orine et l'énoncé qui lui sont propres, sous deux aspects différents. On peut, en effet, le regarder comme exprimant une relation générale et constante entre six points quelconques d'une courbe du second ordre, c'est-à-dire un point de plus qu'il n'en faut pour déterminer la courbe; ou bien comme exprimant une propriété générale de la courbe, par rapport à un triangle tracé arbitrairement dans son plan. L'analogue du théorème, de Pascal dans l'espace peut dès lors être conçu de deux manières. Dans le premier cas, il constitue une propriété générale de dix points appartenant à une. surface du second ordre, soit un point de plus qu'il n'en faut pour déterminer la surface; dans le second cas, il exprime, une propriété générale résultant du système d'une surlace du second ordre et d'un tétraèdre situé d'une manière quelconque dans l'espace.

Dans la Note XXXII (p. 4oo-4o3) de son ouvrage précité, Chasles s'occupe, avec plus de développements, des théorèmes analogues, dans les surfaces du second degré, aux théorèmes de Pascal et de Brianciion dans les coniques.