PONCTUELLES DE POLES ET FAISCEAUX DE POLAIRES. I

à une courbe du second ordre, tout point du plan a sa polaire et toute droite son pôle.

n. — Région interne et région externe du plan par rapport à la conrbe

dn second ordre.

107. Une courbe du secoud ordre dîvîse le plan dans lequel elle se trouve en deux régions : Tune contenant les pôles de toutes les droites qui ne coupent pas la courbe, l'autre contenant les pôles de toutes les droites qui la coupent. La limite des deux régions est la courbe elle-même, considérée comme lieu géométrique des pôles de ses tangentes. La première région est dite interne par rapport à la courbe, la seconde externe. Des points de la région interne on ne peut pas mener de tangentes à la courbe ; par chaque point de la courbe passe une seule tangente ; de chaque point de la région externe on peut mener deux tangentes.

Un point situé dans la région interne est harmoniquement séparé par la courbe de tout point de sa polaire, et toute droite passant par ce point coupe la courbe en deux points, tandis que la polaire ne rencontre pas la courbe.

Par contre, un point R, situé en dehors de la courbe, n'est pas séparé par celle-ci de tous les points de sa polaire ; mais les deux tangentes menées par R à la courbe limitent sur la polaire un segment dont tous les points sont harmoniquement séparés de R.

m. — Ponctuelles de pôles et faisceaux de polaires.

108. Les polaires de tous les points d'une droite u passent par le pôle U de cette droite»

Tout point Q de «, intérieur à la courbe du second ordre, est harmoniquement séparé du pôle (extérieur] U par les deux points d'intersection du rayon UQ et de la courbe (105 )• La polaire de Q passe donc par U.

Tout point R de u, extérieur à la courbe, a pour polaire (sécante) la

Les pôles de tous les rayons d'un point U sont situés sur la polaire u de ce point*

Tout rayon q de U, ne rencontrant pas la courbe du second ordre, est harmoniquement séparé de la polaire (sécante) u par les deux tangentes menées du point uq à la courbe. Le pôle de q est doDC sur u.

Tout rayon r de U, rencontrant la courbe, a pour pôle (extérieur) le

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corde de contact des deux tangentes dont il est l'intersection, et Ton a démontré que cette corde passe par le pôle U de u.

Enfin, tout point de Uy situé sur la courbe, a pour polaire sa propre tangente (106), qui passe par U.

point de concours des tangentes en ses deux points d'intersection, et l'on a démontré que ce point de concours est sur la polaire u de U.

Enfin, tout rayon deU, tangent à la courbe, a pour pôle son propre point de contact (106), qui est situé sur la droite u.

109. Soient P un point quelconque d'une droite u, p sa polaire, Q le point d'intersection de m et de /? et q la polaire de Q. Les droites p et q passent (108) par le pôle U de u. Les points P, Q, U sont les sommets d'un triangle et les droites p^ q^ u sont les côtés du même triangle respectivement opposés à ces sommets. Ce triangle, dans lequel chaque sommet est le pôle du côté opposé, prend le nom de triangle polaire de la courbe du second ordre.

Les triangles polaires donnent lieu à la double proposition suivante (105) :

Dans iout quadrangle complet inscrit à une courbe du second ordre^ les trois couples de côtés opposés se coupent aux sommets d'un triangle polaire de la courbe.

Dans tout quadrilatère complet circonscrit à une courbe du second ordre, les trois couples de sommets opposés sont situés sur les côtés d'un triangle polaire de la courbe.

110. A chaque triangle polaire PQU correspondent une infinité de quadrangles inscrits à la courbe, et dont les couples de cotés opposés se coupent aux points P, Q, U. Menons par le point P une sécante qui rencontre la courbe aux points B et C. Joignons ces points au point U et prolongeons les droites BU, CU jusqu'à ce qu'elles rencontrent une seconde fois la courbe, respectivement en D et A. On voit aisément que ABGD est l'un des quadrangles en nombre infini dont nous venons de parler.

Cela posé, si l'on maintient fixes le point U et les sommets A, C du quadrangle inscrit, et si l'on déplace le point P sur la polaire u de U, le sommet Bse déplacera sur la courbe. Les droites PB, QB décriront par conséquent, autour des centres C, A, deux faisceaux projectifs de rayons ; les points P, Q décriront en même temps