IV. — Éléments conjugués

111. Une droite étant coordonnée, comme polaire, à chaque point du plan, par rapport à une courbe du second ordre, on est conduit à introduire les nouvelles dénominations ci-après :

Deux points du plan sont dits conjugués ou réciproques ( * ) par rapport à la courbe du second ordre, quand l'un d'eux est situé sur la polaire de l'autre.

Deux droites du plan sont dites conjuguées ou réciproques par rapport à la courbe du second ordre, quand l'une d'elles passe par le pôle de l'autre.

D'où il suit que :

«Si deux points sont réciproques, leurs polaires sont aussi réciproques, et vice versa.

Un point est donc réciproque à chaque point de sa polaire et une droite à toute droite passant par son pâle.

Un point situé sur la courbe du second ordre est réciproque à lui-même, puisqu'il est en même temps situé sur sa polaire, la tangente.

Une tangente à la courbe est réciproque à elle-même, puisqu'elle passe par son pôle, le point de contact.

Quand la droite qui joint deux points réciproques par rapport à la courbe du second ordre rencontre la courbe, un de ces points est toujours situé dans la région interne, l'autre dans la région externe.

112. Siia droite a, qui joint deux points réciproques^ rencontre la courbe

Si le point A, où se coupent deux droites réciproques, est extérieur à la

(') La dénomination àe points conjugués se trouve dans O. Hesse {De Curvis et Super ficiebus secundi ordinis. — Journal fiir die reine und angewandte Mathenuuih^ von A.-L. Crelle ; t. XX, A. 1840); celle de points réciproques est due à Poxcelet {Traité des propriétés projectives des Jigures. Paris, 1823, n® 82).

du second ordre, ces points sont karmoniquement séparés par les points d'intersection de la courbe et de la droite a.

En effet, la polaire de Tun des points passe par l'autre et contient tous les points qui sont harmoniquement séparés du premier par deux points de la courbe.

courbe du second ordrCy ces droites sont karmoniquement séparées par les tangentes, à la courbe, issues du point A.

En effet, le pôle de Tune des droites est situé sur l'autre et par ce pôle passent tous les rayons qui sont harmoniquement séparés de la première par les tangentes à la courbe.

113. Il résulte, en outre, de la définition des points et des droites réciproques, que :

Si deux points A et B sont réel- 1 Si deux droites a et b sont réciproques à un troisième C, la droite proquesà une troisième c, le point ab

AB est la polaire de G.

Cette polaire doit en effet passer par A et par B.

est le pâle de la droite c.

Ce pôle doit, en effet, se trouver sur a et sur b.

114. Soient maintenant u el^ deux droites du plan, non réciproques. Si à chaque point P de u on assigne comme correspondant le point P| de v qui lui est réciproque, les ponctuelles u el v sont rapportées projectivement Tune à l'autre.

La ponctuelle v est en effet une section du faisceau U de rayons, formé de toutes les polaires des points de u (108) et projectif à la ponctuelle u (110). Les droites qui joignent deux points réciproques quelconques, P et P| , des droites u et v, forment donc un faisceau de rayons du premier ou du second ordre, selon que le point d'intersection uv est ou n'est pas réciproque à lui-même, c'est-à-dire selon que ui^ est ou n'est pas situé sur la courbe du second ordre.

. Le point P, réciproque aux points P| et U, a pour polaire la droite PiU, et PP| est réciproque à P, U (111). Nous obtenons donc aussi le faisceau de rayons du premier ou du second ordre en faisant passer par chaque point P< de v le rayon qui est réciproque à la droite PjU.

Soient, d'autre part, U et V deux points du plan non réciproques. Si à chaque rayon p de U on assigne comme correspon-

ELEMENTS CONJUGUES.

dant le rayon p^ de V qui lui est réciproque, les faisceaux U et V sont rapportés projectivement.

En effet, U est une projection de la ponctuelle v, qui contient les pôles de tous les rayons de V (108) et qui estprojective au faisceau V de rayon s (HO). Les faisceaux U et Vse coupent donc suivant une ponctuelle ou suivant une courbe du second ordre, selon que le rayon commun UV est ou n'est pas réciproque à lui-même.

Le rayon p^y réciproque aux rayons /? et ç», a pour pôle le point pv, etlepoint/;^! est réciproque au point /7Ç' (Hl). Nous obtenons donc aussi la ponctuelle ou la courbe du second ordre en déterminant sur chaque rayon /? de U le point réciproque au point /7Ç'.

Nous sommes ainsi conduits aux propositions suivantes :

Une droite v et un point U, non situé sur v^ étant donnés dans le plan d'une courbe du second ordre :

Si l'on détermine sur chaque rayon de Xi le point réciproque au point d'intersection de ce rayon et de la droite Vy on a une suite de points situés sur une courbe {lu second ordre qui passe par le pôle V de la droite v^ par le point U et par les points de contact des deux tangentes menées du point V à la courbe donnée.

Dans le cas seulement où p passe par un de ces points de contact et où, par conséquent f la droite UV est tangente à la courbe donnée, on olhtient une ponctuelle au lieu d'une courbe du second ordre.

La courbe du second ordre donnée et le point U restant fixes, à tout point du plan correspond un point réciproque y situé avec le premier sur un rayon rfe U ; à toute droite corres-pond, en général, une courbe du se' cond ordre.

Si l'on fait passer par chaque point de V le rayon réciproque à la droite qui joint ce point au point U, on a une suite de rayons enveloppant une courbe du second ordre qui est touchée par la polaire u du point D, par la droite p et par les tangentes à la courbe donnée en ses deux points d'intersection avec la droite v.

Dans le cas seulement où U se trouve sur une de ces tangentes et oit, par conséquent, le point uv appartient à la courbe donnée, on obtient un faisceau de rayons du premier ordre au lieu d'un système de tan-gentes à une courbe du second ordre,

La courbe du second ordre donnée et la droite v restant fixes, à tout rayon du plan correspond un rayon réciproque qui coupe le premier en un point de v; à tout faisceau de rayons du premier ordre correspond, en général, un faisceau de rayons du second ordre.

115, Quand trois points sont réciproques deux à deux, il y en a toujours un dans la région interne de la courbe et deux dans la région externe.

Quand trois droites sont réciproques deux à deux y il y en a toujours deux qui rencontrent la courbe et une qui ne la rencontre pas.

En ce qui concerne la proposition à gauche, si Ton ne considère que deux des trois points, Tun des deux est toujours en dehors de la courbe (111). Sa polaire rencontre donc la courbe. Les deux autres points réciproques se trouvent sur cette polaire ; l'un de ces deux points est donc situé dans la région interne de la courbe.

116. Les deux propositions suivantes résultent de ce qui vient d'être démontré :

Si un triangle AMfii [fig» 34) est inscrit à une courbe du second

Fig. 34.

Si un triangle UVW [fig. 35) est circonscrit à une courbe du second

Fig. 35.

ordrcy toute droite réciproque à l'un des côtés, ABi, coupe les deux autres côtés en deux points réciproques.

Et vice versa :

Toute droite coupée par deux côtés du triangle en deux points réciproques passe par le pôle du troisième côté.

ordre, tout point réciproque à l'un des sommets, W, est projeté des deux autres sommets par deux rayons réciproques.

Tout point projeté de deux sommets du triangle par deux rayons récipro' ques est situé sur la polaire du troisième sommet.

ÉLÉMENTS CONJUGUÉS. Il3

Les ponctuelles AM ou m, B, M ou s^ seront projectives, si l'on assigne comme correspondant à chaque point de u son réciproque sur V. Le point M de la courbe, commun à u et à v, étant d'ailleurs réciproque à lui-même (lil), les deux ponctuelles engendreront un faisceau de rayons du premier ordre ( H^). Le centre S de ce faisceau de rayons doit se trouver sur la tangente en A, puisque le point d'intersection A| de cette tangente (polaire de A) avec V est réciproque au point A. Le centre S est de même sur la tangente en B| . Donc S est le pôle de AB^ et toute droite passant par S, c'est-à-dire toute droite réciproque au côté ABi, coupe u et ven deux points réciproques,

On démontrerait de la même manière la proposition à droite, dont l'exactitude résulte d'ailleurs de la loi de réciprocité.

117. Si une courbe du second ordre est coupée par deux rayons réciproques, AC et BD {Jig- 36), les points d* intersection A, B, C, D sont quatre points harmoniques et les tangentes a, b, c, d en ces points sont quatre tangentes harmoniques à la courbe du second ordre.

Le pôle Q de AC, où se coupent les tangentes a et c, doit se trouver sur la droite BD , puisque cette droite est réciproque à AG. De même le pôleRdeBD, où se coupent les tangentes b et d, est sur AC.

Appelons Pie point d'intersection de AC et de BD ; P, B, Q, D sont quatre points harmoniques et RP, by KQ, d quatre rayons harmoniques. Les rayons CA, CB, c, CD sont donc aussi harmoniques, et il en est de même des points ca, cb, C, cd. Les points A, B, C, D sont donc projetés de C, et par conséquent de tout point de la courbe, au moyen de quatre rayons harmoniques, et les tangentes a, b, c, d sont coupées par c, ou par toute autre tangente, en quatre points harmoniques.

Il4 GÉOMBTRIB DE POSITION. — CHAPITRE X.

V. — Plan polaire par rapport à la surface coniqne du second ordre.

118. Toutes les propositions qui viennent d*étre établies pour les courbes du second ordre peuvent être étendues aux surfaces coniques du second ordre : ces surfaces sont en effet coupées, par un plan qui ne contient pas leur centre, suivant une courbe du second ordre.

Nous nous bornerons à indiquer ici les propositions suivantes :

Étant donnés, dans une gerbe, une surface conique du second ordre et un rayon s non situé sur la surface^ si l'on coupe celle^ par autant de plans que l'on voudra, passant tous par le rayon Sj et si l'on détermine :

1° Dans chaque plan, la droite qui est harmoniquement séparée de s par la surface conique;

a^ La droite commune aux deux plans qui touchent la surface suivant ses droites d'intersection auec le plan sécant considéré;

3° Dans tout tétraèdre inscrit à la surface conique, et dont les plans diagonaux sont deux quelconques des plans menés par s, les droites d'intersection des faces opposées;

4^ Les droites de contact des deux plans qu'on peut mener par s tangentiellement à la surface conique.

Toutes ces droites sont situées dans un plan Z, qui passe par le centre de la gerbe et quon appelle le plan polaire du rayon s par rapport à la surface conique considérée.

DIAMÈTRES ET CENTRES. Il5