VII. — Snriaces coniqaes projectives identiques

162. Si les courbes sont projetées d'un centre quelconque par deux surfaces coniques projectives, on a pour celles-ci une double proposition analogue à la précédente.

Une courbe du second ordre étant projectwe à une surface conique, ou à [un des systèmes de droites génératrices d'une surface rectiligne, si plus de trois points de la courbe sont situés sur les rayons correspondants de la surface conique ou du système de droites, la courbe est perspective à Vune de ces dernières formes.

Si Ton coupe, en effet, la surface conique, ou le système de droites, par le plan de la courbe, on obtient une courbe du second ordre projectîve à la proposée. Les deux courbes ont d'ailleurs plus de trois éléments unis; donc elles sont identiques (161).

Pareillement, un faisceau de plans du second ordre est en position perspective par rapport à un faisceau projectif de rayons du second ordre, ou à un système projectif de droites, si plus de trois de ses plans passent par les rayons correspondants du faisceau du second ordre ou du système de droites.

Si Ton projette, en effet, le faisceau de rayons ou le système de droites du centre (63) du faisceau de plans, on obtient (ISO) un faisceau de plans du second ordre qui est projectif au proposé. Les deux faisceaux de plans ont d'ailleurs plus de trois éléments unis; donc ils sont identiques.

SECTION DE DEUX SURFACES CONIQUES DU SECOND ORDRE, ETC. iBq

¥111. — Section de denz surlaces coniqaes da second ordre sniyant nne conrbe du second ordre et position de deux courbes du second ordre sur une surface conique du même ordre.

163. DeiLc surfaces coniques du second otri/Vy qui ont des centres dif" ferents et qui sont touchées par un même plan suivant la droite de jonction s de leurs centres, se coupent suivant une courbe du second ordre.

Rapportons les surfaces coniques perspectivement au faisceau de plans s. Elles ont le rayon s uni, et deux autres rayons correspondants quelconques ont un point commun, puisqu'ils sont dans un même plan du faisceau s. Le plan qui contient trois quelconques de ces points communs aux couples de rayons correspondants coupe les surfaces coniques suivant deux courbes projeclives du second ordre, qui sont identiques, puisqu'elles ont, comme éléments unis, non-seulement ces trois points, mais encore un point de s.

Deux courbes du second ordre placées dans des plans différents et touchées en un même point par la droite d'intersection s de leurs plans, sont situées sur une surface conique du second ordre.

Rapportons les faisceaux de rayons du second ordre qui enveloppent les courbes, perspectivement à la ponctuelle s. Ils ont le rayon 5 uni, et deux autres rayons correspondants quelconques ont un plan commun, puisqu'ils passent par un même point de la ponctuelle s. Les faisceaux de rayons sont projetés, du point d'intersection de trois quelconques de ces plans communs aux couples de rayons correspondants, au moyen de deux faisceaux projectifs de plans du second ordre, qui sont identiques, puisqu'ils ont, comme éléments unis, non-seulement ces trois plans, mais encore un plan passant par s.

La démonstration peut être conduite plus simplement de la manière suivante :

Faisons passer à gauche un plan par trois points communs aux surfaces coniques. Les deux courbes d'intersection ainsi déterminées ont en commun ces trois points et le point d'intersection de s avec leur plan ; elles sont d'ailleurs touchées en ce dernier point par la droite suivant laquelle le plan tangent commun aux surfaces coniques est rencontré par le plan sécant. Les courbes d'intersection coïncident dès lors dans tous leurs points (72).

On démontrerait le théorème à droite d'une manière analogue.

IX. — Identité des courbes da second ordre et des sections coniques.

164. Nous déduisons incidemment de ce qui précède que toute courbe du second ordre peut être considérée comme section d^un cône circulaire. On peut en effet placer , d'une infinité de manières, un cercle et une courbe du second ordre donnée, en telle position que ces deux courbes se touchent l'une l'autre et soient dans des plans différents, tout en reposant sur une même surface conique. Les courbes du second ordre sont donc identiques aux sections coniques (62), et nous pourrons, par la suite, leur appliquer cette dernière dénomination.

X.. — Faisceau de rayons dn premier ordre et courbe du second; ponctuelle et faisceau de rayons du second ordre, projectifs, mais non perspectifs.

16S« Si une courbe s du second ordre est projecUve, mais non per^ spective^ à un faisceau S de rayons du premier ordre, situé dans son plan, trois rayons au plus du faisceau, mais un au moins, passent par les points de la courbe qui leur correspondent.

Si un faisceau de rayons du second ordre est projectif mais non perspectif à une ponctuelle située dans son plan^ trois points au plus de la ponctuelle, mais un au moins, sont situés sur les rayons du faisceau qui leur correspondent.

Tout faisceau de rayons S<, perspectif à la courbe j, et, par suite, projectif au faisceau S, engendre généralement avec celui-ci une deuxième courbe du second ordre, et tout point de s, situé sur le rayon de S qui lui correspond, est évidemment commun aux deux courbes.

Si plus de trois points de s reposaient sur les rayons correspondants de S, les deux courbes auraient, outre le point S|, quatre points communs au moins ; elles seraient par conséquent identiques et S serait perspectif à 5, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc, trois rayons au plus du faisceau S passent par les points de la courbe s qui leur correspondent.

Toute courbe du second ordre divisant le plan qui la contient en

COURBE PLANE ET COURBE GAUCHE DU TROISIÈME ORDRE. FAISCEAU, ETC. l4l

deux parties distinctes (i07), les deux courbes considérées doivent se toucher au point commun S^ ou bien se couper au point Si et, par suite, au moins en un second point P, car chacune d'elles se trouve alors, partie au dedans et partie au dehors de l'autre. Dans le premier cas, au rayon SS| de S correspond la tangente commune en S| et par conséquent le point S| de la courbe s situé sur SSi. Dans le second cas, les rayons SP, S|P se correspondent et SP passe conséquemment par le point P de la courbe s qui lui correspond. Donc un rayon du faisceau S passe par le point correspondant de la courbe s,

166. Les formes du premier et du second ordre, dans la gerbe, donnent lieu à des propositions tout à fait analogues. On en déduit que :

Si une forme fondamentale simple et une forme du second ordre sont projectiv^ement rapportées entre elles, et si plus de trois éléments de tune passent par leurs correspondants de l'autre, les deux formes sont perspectives, et tout élément de l'une passe par son correspondant de l'autre.

Si la forme du second ordre est un système de droites génératrices d'une surface doublement rectiligne, et celle du premier ordre une ponctuelle ou un faisceau de plans, on dit qu'elles sont en position perspective lorsque trois rayons du système de droites passent par les trois points correspondants de la ponctuelle, ou reposent sur les trois plans correspondants du faisceau de plans. Le lieu de la ponctuelle, ou l'axe du faisceau de plans, est une génératrice du système, car il coupe trois rayons de celui-ci.

XI. — Conrbe plane et courbe gaache da troisième ordre. Faisceaa de rayons et faiscean de plans du troisième ordre.

167. On reconnaîtra l'importance des précédentes propositions aux conséquences qui s'en déduisent :

Si une ponctuelle u et une courbe s flu second ordre, qui lui est projectlve, sont situées dans un même plan,

Si un faisceau de rayons du pre^ mier ordre et un faisceau de rayons du second ordre, qui lui est projec-

les droites de jonction des couples de points correspondants forment un