jéucune courbe du second ordre n*a plus de deux foyers
£n effet, la droite qui joint deux foyers est un axe de la courbe (200], e le cercle, qui seul a plus de deux axes (135), n'a qu'un seul foyer (200).
L'axe a d'une ellipse ou d'une hyperbole, sur lequel sont les deux foyers, est appelé axe principal de la courbe.
L'hyperbole est coupée par son axe principal*
En effet, les foyers situés dans la région interne (200] ne peuvent pas se trouver sur l'axe qui ne rencontre pas la courbe.
Les foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole sont symétriquement placés par rapport au centre de la courbe.
En effet (35, 36], dans la ponctuelle involutoire a^ dont les points doubles sont les foyers, le centre est conjugué au point à l'infini, le second axe de la courbe étant conjugué à toutes les droites qui lui sont perpendiculaires.
En général, les foyers sont harmoniquement séparés par deux droites conjuguées recLingulaires.
Si la courbe du second ordre est une parabole ayant pour axe la ponctuelle /7, les deux faisceaux projectifs de rayons parallèles considérés plus haut (201]' ont pour élément correspondant commun la droite à l'infini, car cette droite est conjuguée à elle-même comme tangente k la parabole. Dès lors, un point double de la ponctuelle involutoire a coïncide avec le point k l'infini, qui doit être considéré comme foyer de la parabole. Donc :
La parabole a un seul foyer propre, lequel (comme second point double de a) divise en deux parties égales le segment compris entre deux points conjugués quelconques, P etP^,
203. Soient F et Fi [fîg, 5i) les deux foyers d'une courbe du second ordre, dont l'un est à l'infini sur l'axe, quand la courbe est une parabole.
l68 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APraNDICE AUX CHAPITRES IX ET XlII.
Deux droites conjuguées rectangulaires, SP et SP|, sont harmoniquement séparées par les points F, Fj et par conséquent aussi par les rayons SF, SF|. Ces droites conjuguées sont donc les bissectrices des angles formés par SFetSF, (361.
Si S est un point de la courbe, Tune des droites SP, SP| est tangente à la courbe.
Si S est situé en dehors de la courbe, SP et SPj sont aussi les bissectrices des angles formés par les deux tangentes à la courbe issues du point S ; car ces tangentes sont aussi séparées harmoniquement par SP et SPi (111).
Nous obtenons ainsi les propositions suivantes :
Tonte tangente à une courbe du second ordre forme des angles égaujc avec les deux droites qui joignent son point de contact aux foyers de la courbe.
L'angle formé par deux tangentes à une courbe du second ordre a la même bissectrice que l'angle des droites menées du point d'intersection des tangentes aux foyers de la courbe.
Ces propositions s'appliquent aussi à la parabole. Dans ce cas , la droite qui joint un point du plan au foyer à l'infini n'est autre que la parallèle menée à l'axe par le point considéré.
204. D'autres propriétés remarquables résultent de ce que deux rayons conjugués quelconques, issus d'un foyer, sont perpendiculaires entre eux.
Nous appelons directrice d'une courbe du second ordre la polaire/ d'un foyer F de la courbe.
Le segment de toute tangente, compris entre le point de contact et une directrice, est projeté du foyer correspondant par un angle droit.
Les côtés de cet angle sont en effet deux rayons conjugués du foyer F, car le point où la tangente est coupée par la directrice/ a pour polaire la droite qui joint le foyer F au point de contact ( 108).
Soient TA et TB [fig> 53 ) deux tangentes quelconques à une courbe du second ordre; Afi est la polaire du point T. Le point d'intersection P de AB et de /étant dès lors le pôle de la droite TF ( 108), les rayons TF, PF sont conjugués et, par suite, rectangulaires. D'autre part, les rayons FA et FB sont harmoniquement séparés par FT et FP, puisque A et B sont harmoniquement séparés par P et FT. Donc les angles adjacents formés par FA et FB ont FP et FT pour bissectrices ; en d'aulres termes ;
La tlroite qui joint un foyer propre d'une courbe du second ordre au
point d'intersection de deux tangentes est bissectrice de l'angle formé par les droites qui joignent le même foyer aux points de contact.
205. Si l'on mène par A et B deux parallèles à FT, qui coupent la directrice / respectivement en Ai et Bi, les points Aj et Bi sont aussi harmoniquement séparés par P et FT. Les angles formes par FAi et FBi ont donc aussi FP et FT pour bissectrices. Il résulte immédiatement de là que les triangles AiAF, B^BF sont semblables, et qu'on a la proportion
