FA: AA, = FB :BB
Fig. 53.
Les segments AAi et BBj forment des angles égaux avec la directrice/ et sont, par conséquent, pro])ortionnels aux perpendiculaires qu'on peut abaisser des points A et B sur/. On a donc encore
FA : AA, = FB : BBj.
A et B étant deux points quelconques de la courbe, on a cette proposition :
Les distances d'un point quel^ conque de la courbe du second ordiv à l'un des foyers et à la directrice correspondante sont ent/e elles dans un rapport constant.
Dans la parabole, le rapport est égal à l'unité; autrement dit, les deux distances sont égales, car le sommet est harmoniquement séparé du point à l'infini de la parabole par le foyer et par la directrice.
Dans l'ellipse et dans l'hyperbole, le rapport a la même valeur pour chacun des deux foyers, considéré avec la directrice correspondante. Cette propriété résulte immédiatement de ce que chacun des axes divise la courbe en deux moitiés symétriques (1^4). Si donc ret r, sont les*distances d'un point quelconque A de la courbe aux deux foyers F et F, ; del d^ les distances du même point aux deux directrices correspondantes /et /, on a
- = -7- = const.
a di
r±r Il s'ensuit que ' est aussi égal à ce rapport constant.
170 GÉOMÉTRIE DE POSITION. -> APPENDICE At'\ CIUPITRRS IX ET XIII.
Et, comme la distance constante des deux directrices est d-^- d^ pour Tellipse et </ — d^ pour l'hyperbole, on voit que la somme / H- /"i pour Tellipse et la difTcrence r — r^ pour Thyperbole sont aussi constantes. Donc :
La somme des distances d'un point quelconque d'une ellipse à ses foyers est constante,
La diffei^nce des distances d*un point quelconque d*une hyperbole à ses foyers est constante.
II est d'ailleurs facile de reconnaître que cette somme, ou cette différence, est égale au segment compris entre les points sommets de l'axe principal,
20G, Les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole sur les tangentes sont situés sur la circonférence qui a pour diamètre le segment compris entre les points sommets (133) de l'a.re principal.
Soient F et F, [^g, 54) les foyers d'une ellipse, A et Ai les extrémités
d'un diamètre. Le quadrangle FAFi Ai est un
Fîf. 54.
parallélogramme, puisque ses diagonales se
coupent en leurs milieux au centre de la courbe. Les côtés de ce parallélogramme forment des angles égaux avec la tangente con^ struite en A (203). Cette tangente est coupée par Al F| au ])oint K, et le triangle A F, K est isoscèle. Le pied N de la perpendiculaire abaissée du foyer Fi sur la tangente est donc le point milieu de la base AK. Le point M est,
d'autre part, le milieu deAAi; MN est donc parallèle à Ai K et égal à 7 Ai R.
Mais on a
FiK = AFii=FA, ;
d'où
et, par conséquent,
AiKz^FA, + A,Fi,
MN=:-;(FAi^AiF,).
Le point N est donc à distance constante du centre M de l'ellipse.
La circonférence décrite du centre M, et passant par N, passe aussi par les points sommets de l'axe principal ; car ces points sont les pieds des perpendiculaires qu'on peut abaisser des foyers sur les tangentes correspondantes.
La démonstration pour l'hyperbole est tout «1 fait analogue.
207. Les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées du foyer F iVunc parabole sur les tangentes sont situés sur la tangente au sommet de la courbe.
Par le point d'intersection N [fig'^^) de la tangente an sommet NS et d*une autre tangente quelconque NÂ, menons une parallèle >Tj à
Taxe et une droite NF au foyer. Les angles FNA et SNFj sont égaux (203], puisque BiFi contient le second foyer à Tinfini de la parabole;
et, comme Tangle SNFj est droit, Tangle FNA doit Têtre aussi.
