Les deux propositions précédentes fournis

sent le moyen de construire très-simplement les foyers d'une courbe du second ordre. Mais la méthode suivante est encore plus simple, quand il s*agit de Tellipse ou de Thyperbole.

Les tangentes aux sommets de Taxe principal coupent une troisième tangente quelconque en deux points, P et Q, qui sont projetés, de tout point de l'axe principal, par un couple de rayons conjugués (116). On déterminera donc les foyers, pour lesquels les deux rayons conjugués doivent être rectangulaires, en décrivant, sur PQ comme diamètre, un cercle points d'intersection avec l'axe principal seront les foyers cherchés

dont les

209. Si deux tangentes TA et T6 [fig. 56] à une courbe du second ordre sont coupées par une troisième, respectivement aux points Ai et B|, A, B, G étant les ^\„ 55 trois points de conlact et F un foyer propre de la courbe, on a (204] les relations suivantes entre les angles qui projettent de ce foyer les segments des tangentes :

BiFC= BFBj =^BFC,

CFAi = AiFA = iCFA, et, par conséquent,

B, FC -+- CFAi = { ( BFC -H CFA) , ou bien Bi F Aj

= BFT = TFA.

l-'A GÊOIIKTRIE DE POSITION. — APPENDICE AIX CHAPITRES l\ ET XIII.

Donc :

Le segment variable, limité sur une tangente mobile à la courbe du secontl ordre par deux tangentes fixes, est projeté d'un même foyer son s un angle de grandeur constante.

Pendant que le point de contact C de la tangente mobile parcourt la courbe, les points A^ et Bj décrivent sur les tangentes 6xes deux ponctuelles projectives, et les rayons FA|, FBj décrivent autour du foyer F deux faisceaux égaux de rayons. Donc :

Les ponctuelles projectives résultant de l'intersection de deux tangentes à la courbe du second ordre par toutes les autres tangentes sont projetées, de chacun des foyers de la courbe, par deux faisceaux de rayons égaux et projectifs concordants.

Cette propriété s'étend à la parabole, qui a pour second foyer son point à l'infini, et au cercle, dont le centre est un foyer.

On pourra donc construire autant de tangentes qu*on voudra à une courbe du second ordre, étant donnés un foyer et trois tangentes.

Lorsque, dans le cas de la parabole, la tangente mobile AiBi passe à rinfini, on vérifie que Tanglc des droites FA| et FB| est égal à l'un des angles formés par les tiingentes fixes TA et TB. L'angle AiFBi ayant d'ailleurs la même ouverture dans toutes les positions de la tangente mobile, on en déduit que :

Toute circonférence circonscrite au triangle formé par trois tangentes à une parabole passe par le foyer de la courbe*

Par suite :

Les circonférences circonscrites aux quatre triangles formés par les côtés d'un quadrilatère, pris trois a trois, ont une intersection commune au foyer de la parabole inscrite dans le quadrilatère.

Lorsque, dans le cas de l'hyperbole, les deux tangentes fixes TA, TB se confondent avec les asymptotes et ont par conséquent pour points de conUict, A et B, leurs points à l'infini, les droites TB et FB sont parallèles,

et l'angle BiFA,, égal à BFT, est égal aussi à l'un des angles formés par l'asymptote TB et par l'axe principal TF. De même, le second angle formé par les droites TB et TF est égal à l'angle A^F^Bj, suivant lequel le seg-

FOVERS. 1 73

luent AiBj est projeté du second foyer Ff Les deux angles B|FAiy Ai^F^B, sont donc supplémentairesy et par suite :

Les foyers d'une hyperbole et les points d'intersection d'une tangente quelconque avec les asymptotes sont quatte points situés sur une mémo circonférence.

On voit d'ailleui*s facilement (203) que le centre de cette circonférence et les deux mêmes points d'intersection déterminent une seconde ciiTonféi-ence qui passe par le centre de riiy|>erbole.

17i GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XIV