XXIV PREFACE

tique géométrique. Il n'existe cependant pas entre les deux méthodes une ligne de démarcation tellement tranchée qu'on les puisse distinguer nettement, en opposant deux définitions précises Tune à l'autre. On pourrait même dire, d'une manière très-générale, que la Statique géométrique comprend l'ensemble des applications de la Géométrie à la résolution des problèmes de Statique , et une définition ainsi étendue embrasserait évidemment les applications qui font l'objet spécial de la Statique graphique.

Mais on est convenu de réserver le nom de Statique graphique à toute une catégorie de recherches récentes, qui constituent un corps de doctrine désormais bien coordonné et qui, prises dans leur ensemble, sont caractérisées par la double condition de mettre en œuvre les procédés cons truc tifs du Calcul linéaire ou graphique, et de reposer sur la relation fondamentale qui existe entre le polygone des forces et le polygone funiculaire.

Le domaine de la Statique graphique étant ainsi, non pas rigoureusement défini, mais indiqué, on convient de désigner sous le nom de Statique géométrique l'ensemble des autres applications de la Géométrie, et plus particulièrement de la Géométrie ancienne, à la Statique.

On peut dire encore, à certains égards, que la Statique graphique est à la Statique géométrique ce que la Géométrie descriptive est à la Géométrie ordinaire, et que, si la Statique géométrique a été jugée plus propre à la déduction géométrique des lois qui régissent l'équilibre des corps, la Statique graphique convient plus spécialement à l'invention et a la mise en pratique des méthodes qui permettent de résoudre, par la construction d'épurés, les problèmes de Statique se rapportant à l'art de l'ingénieur.

Il est à remarquer d'ailleurs que si, par une sorte d'action réflexe, la Géométrie descriptive a contribué souvent aux progrès de la Géométrie pure, la Statique graphique n'a pas été sans exercer une influence très-favorable sur les plus récents développements de la Statique géométrique.

Simon S te vin [De Beghinselen der JVagkonst, i586) a été l'un des principaux initiateurs de la Statique géométrique. C'est à lui qu'on doit l'idée de représenter les forces , en grandeur et en direction, par des droites. Cette innovation lui a permis d'établir

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son ihéorème fondamental sur Téquilibre de trois forces concourantes respectivement parallèles et proportionnelles aux trois côtés d^un triangle.

Le parallélogramme des forces, introduit par Newton, marque un nouveau progrès. Galilée, Descartes, Roberval, Mersenne et Wallis avaient, à la vérité, déjà indiqué, dans certains cas particuliers, la composition de deux vitesses; mais le principe général n'a été bien établi que par Newton , dans ses Philosophiœ naturalis principia mathemalica,

Varignon a donné, vers le même temps, dans son Projet d'une nouvelle Aléchanique, Ténoncé géométrique d^une propriété qui est, en substance, le théorème fondamental de la théorie des moments (^). Il a repris et développé plus lard ce théorème sous une autre forme, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Tannée 1 719 et dans sa Nouvelle Mécanique posthume (^). Aucun ouvrage n'est plus digne de fixer notre attention que ce dernier Traité, dont la donnée, purement géométrique, reste tout à fait indépendante des recherches de Newton. Varignon y enseigne à construire, dans le cas des forces parallèles et dans celui des forces distribuées d'une manière quelconque sur un plan (3), le polygone des forces et le polygone funiculaire, ces deux puissants instruments de la moderne Statique graphique. Il détermine, dans les deux cas, la résultante d'un système donné de forces, en prolongeant les côtés extrêmes du polygone funiculaire (*). Il considère enfin d'une manière spéciale, dans ces diverses constructions, le

(') Projet d'une nouvelle Méchanique. Paris, 1687, p. 109. Il convient de remarquer ici que ce théorème était connu en Italie un siècle avant Varignon. On lit, en effet, ce qui suit dans un ouvrage de Jean-Raptistb Benedetti {Diversarnm spéculât ionutn mathematicarum et phjrsicarum liber, Taurini, i585, p. i.{3) : « Quod quantitas cuiusiibet ponderis, aut virtus movcns respectu alterius quantitatis cognoscatur beneficto perpendicularium ductarum a centro librao ad lineam inclinationis. • Benedktti avait été conduit à ce résultat par ses recherches sur l'équilibre du levier recourbé, question qui avait embarrassé un si grand nombre de géomètres.

(*) Nouvelle Mécanique ou Statique dont le projet fut donné en MDCLXXXVIl. Ouvrage posthume de M. Varignon, etc. A Paris, chez Claude Jombert, MDGCXXV. T. I, p. 8/|, 91, 3i4, 3i6, 817, 38o, 383, 38/|, et t. II, p. i53, etc. Nous devons exprimer ici nos remerclments à M. Ed. Dewulf, chef de bataillon du Génie, pour les intéressants relevés bibliographiques qu'il a bien voulu nous communiquer.

(') Nouvelle Mécanique, etc. T. I, p. 191-193.

(*) Nouvelle Mécanique ^ etc. T. I, p. 198-301.

XXVI PBBFAGE.

cas limite ou, le nombre des côtés du pol^^gone funiculaire devenant infiniment grand, ce polygone se transforme lui-même en une courbe [*),

Notre but n'étant pas de faire ici un historique complet des recherches qui se rapportent à la Statique géométrique, nous nous bornerons à citer encore, à raison de leur importance, les travaux de Monge, de Poinsot, de Chasles et de Mobius.

Poncelet a fait usage des lignes pour la résolution d'un trèsgrand nombre de problèmes de Mécanique; mais la plupart de ses constructions ne sont pas directement graphiques : elles sont plutôt la traduction en langage géométrique d'expressions préalablement déduites de l'analyse. Les inconvénients de cette méthode apparaissent immédiatement. Il est peu aisé de retenir et d'appliquer des constructions basées sur des formules dont la détermination analytique échappe souvent à la mémoire. Quand on emprunte, au contraire, une charpente linéaire aux données mêmes de la question, le simple développement géométrique de la figure primitive conduit tout naturellement au résultat.

Personne, assurément, ne comprit mieux que Poncelet lui-même la supériorité de la méthode directe, fondée sur la pure Géométrie. L'illustre savant occupait depuis plus de dix années la chaire de Mécanique à l'École d'application de Metz, quand on le vit se livrer aux spéculations géométriques avec une ardeur toute nouvelle. Il sentait bien que ses recherches dans cette voie ne manqueraient pas de tourner au grand profit de la Mécanique industrielle, qu'il venait de créer et dont il avait déjà su faire une véritable science. Les diverses branches de Tart technique avaient fait éclore des théories imparfaites, qui conduisaient, par de longues et pénibles recherches, à autant de solutions distinctes que la pratique présentait de cas particuliers. C'est pour suppléer à l'imperfection et à l'insuflisance de ces théories que Poncelet s'appliqua à résoudre géométriquement les questions relatives à la science de

(*) Nouvelle 3Iéc€inique, etc. T. I, p. ig4« 19S, aoi, aos. T'oir, pour rappréciation des mérites de Varignon, Cbables, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 545. — Porcelet, Applications d'Analyse et de Géométrie, etc. Paris, 1864, t. Il, p. 181. — RoGR, Cours de Mécanique et machines, professé à l'Ecole Polytechnique, a* fasc. Pariii, 18G8, p. 10^1 II. — DcnniXG, Kritische Geschichte der allgemeinen Principien der Mechanik, Zweite Auflage. Leipzig. 1877, p. i38-i43.

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rîngénieur. Quelques auteurs assurent même qu'il fui le premier à faire usage du polygone funiculaire pour la détermination des centres de gravité ( ^ )• Il est très-désirable qu'une lumière complète vienne dissiper les doutes qui subsistent au sujet de cette importante application. Aucune autre recherche de Poncelet ne se rattache aussi étroitement à la Statique graphique.

Nous pouvons nous montrer plus aflirmatif en parlant des études de Lamé et Clapeyron sur les polygones funiculaires. Personne, que nous sachions, n*en a signalé jusqu'ici la haute importance pour rhistoire de la Statique graphique. Ces études ont été publiées dans une Revue de Saint-Pétersbourg, à l'époque où les deux savants français étaient au service du Gouvernement russe (^). Elles contiennent, non-seulement une théorie étendue et complétée des polygones funiculaires, mais encore la construction de ces polygones, considérés dans leurs rapports avec les polygones des forces, et des indications très-explicites touchant les multiples applications pratiques de cette construction; elles contiennent aussi, sur le calcul graphique des moments, des notions qui ne dif-

(') CcLMAJiR a expressément affirmé ce fait dans les termes suivants: « £r (Pon- CSLET ) hat zuerst sur Ermittlung von Schwcrpunkten dos Seilpoljrgon, dièses funda* mentale Uûlfsmittel der graphischen Statik, angewendety und zwar noch an der j4rtiUerieschule in Metz, also ifor 1S37, in tvelchem Jahre er hereits sehon in Paris wirkte. » {Die graphische Staiik, Zwcite Auflage, Erster Band. Zurich, 1876, p. viii.) Nous n'aTons trouvé dans les écrits de Porcelet aucune preuve directe et positive à Tappui de cette assertion. Un passage des yipplicationt d*Analjrse et de Géométrie (t. II, Paris, i864i p. 18a} pourrait, à la vérité^ faire supposer que l'illustre géomètre s*est occupé de la question ; mais on a quelque peine à s'expliquer qu'après l'avoir complètement résolue il ne l'ait invoquée dans aucun des cas où l'application en aurait pu être faite avec de grands avantages. Les savants français à qui les œuvres da Po:iCELET sont le plus familières inclinent à penser que la propriété dont il s'agit a été exposée dans les leçons de la Sorbonne. Nous n'en trouvons cependant aucune trace dans les rédactions qui nous ont été communiquées. Nous sommes donc en présence d'une sorte de CttuHtion^ qui se trouvera sans doute confirmée au cours de 1 1 publication des œuvres de Porcelet, entreprise avec tant de sollicitude et de sucrés par M. Kebtz.

(*) Mémoire sur la construction des polygones funiculaires, par MM. les lieutenantscolonels Lamé et Clapbtror, dans le Journal des voies de communication ^ Saint- Pétersbourg, décembre 1816, n" 6, p. 35-47 • — Mémoire sur les polygones funiculaires, par MM. les lieutenants-colonels Lamé et Clapeyron, dans le Journal des voies de communication^ Saint-Pétersbourg, janvier 1827, n* 1, p. 43-56.

XXVIII PRBPAGE.

fèrent en rien de celles qu'on expose aujourd'hui dans les Traités de Statique graphique.

Cousinery occupe aussi une place importante parmi les savants qui se sont appliqués à la solution des problèmes de stabilité par les procédés du Calcul graphique. Il a consacré à cet ordre de recherches une Section entière de son Calcul par le trait. Supposant, toutefois, que les notions élémentaires de Statique étaient connues de ses lecteurs par le Traité de Monge, il s'est abstenu de les exposer et a perdu ainsi l'occasion de les interpréter dans un sens plus strictement graphique que géométrique. Quelques considérations générales préalables permettent cependant de saisir le lien qui rattache le nouvel argument aux principes du Calcul graphique.

« Dans les éléments de Statique, remarque raulcur, les forces sont invariablement représentées en grandeur linéaire; tandis que, pour résoudre les problèmes qui composent la présente Section, nous aurons fréquemment occasion de les considérer comme représentées par des grandeurs superficielles, et Ton conçoit qu'il pourrait arriver telle circonstance où il convînt de les représenter par des grandeurs cubiques. Les considérations développées dans les précédentes sections [Calcul graphique) justifient sufiBsamment l'emploi de ces moyens divers de représentation, puisque nous serions toujours libres d'exprimer linéairement ces grandeurs cubiques ou superficielles, ce qui ramènerait la représentation des forces à la forme spécialement consacrée par les éléments de Statique.

y* En conséquence, pourvu que nous ne perdions pas de vue les conditions qui lient chaque force à son signe représentatif, nous serons libres d'employer celui de ces signes qui se prêtera le mieux au genre de démonstration que nous aurons adopté. II convient de rappeler encore, à ce sujet, que, dès que Ton représente une force par une surface ou par un cube, la direction dans laquelle celle force agit passe nécessairement par le centre de gravité de Tensemble superficiel ou cubique qui lui correspond,

* ... Quand deux surfaces pesantes, c'est-à-dire donnant la mesure d'une force, agissent aux extrémités des bras d'un même levier, pour qu'il y ait équilibre entre elles il fiiut, comme on sait, que chaque surface multipliée par le bras correspondant donne un produit identique , ce qui revient à dire que les cubes qui auraient ces surfaces pour base et ces bras de levier pour hauteur seraient équivalents entre eux. Doue, daus un même parallélépipède rectangle, chaque face prise pour force et chaque hauteur correspon*