MP = MF — PF

MF = DP = DO -f- OP, PF = OF — OP;

MP =DP — PF =(DP-hPF)(DP — PF)=DF.20P = 4D0.0P. On a ensuite

PQ = DP = DO -^ OP, Pi Qi = DPi = DO — OP ,

d'où

PQ — PiQi =MP

230 GEOMETRIE DE POSITION. — APPENDICE AU CHAPITRE XVlIf.

On voit par là que, si la figure DAF tourne autour de DF, le cercle dé> crit par MP est égal à la différence des cercles décrits par PQ, PiQi. Ainsi, le solide engendré par la portion de parabole OAF est égal à la différence des solides engendrés par le trapèze OCAF et par le triangle DGO, c'est-àdire égal à la différence entre le solide engendré par le triangle DAF et le double du solide engendré par le triangle DGO. Le premier de ces deux solides est égal à huit fois le second, car sa hauteur est double, et Faire de sa base quadruple; donc le segment parabolique engendré par la figure OAF est I — 2 . ^ = j du cane engendré par le triangle DAF. Donc :

Le volume d'un segment de paraboloïde elliptique est égal aux trois quarts du volume du cône circonscrit au paraboloïde suivant la base du segment,

307. Pour allier deux ellipsoïdes ©, ©i, il suffit d'allier entie elles les ellipses A-, k^ suivant lesquelles ils sont respectivement coupés par deux plans diamétraiLT pris arbitrairement , et d'assigner, en outre, comme corresponfiants y le point D, ou la surface est touchée par un plan parallèle au plan de k, et le point Dt, où la sut/ace 6, est touchée par un plan parallèle au plan fie Aj.

Cela revient à allier les deux espaces ou systèmes solides dans lesquels se trouvent les ellipsoïdes donnés, de telle manière qu'à l'ellipse h corresponde l'ellipse A| et au point D le point D^.

Les centres M, Mi des ellipses A et X'i, qui sont aussi les centres des ellipsoïdes et ©i, se correspondent alors; et l'ellipse qui résulte de la section de © par un plan du faisceau MD et qui coupe A en K et L, a pour correspondante, dans le second système, une ellipse qui coupe A| aux points K|, Lj, et qui est située dans un plan jiassant par M|D|. Cette seconde ellipse est sur Pellipsoïde ©i, car elle a en commun, avec une section plane de cet ellipsoïde, les points Di, Kf, L| et les tangentes en K| et en L|. Ces tangentes, en effet, sont parallèles au diamètre MiDi, parce que les tangentes correspondantes en K et L sont parallèles à IVID, et parce que les diamètres M^ Di et MD sont respectivement conjugués aux plans diamétraux A| et A.

Pour allier les ellipses A et A|, il suffit de prendre comme correspondants deux diamètres conjugués de l'une et deux diamètres conjugués de l'autre ; conséquemment :

Pour allier deux ellipsoïdes, il suffit d'assigner comme correspondants deux ternes de diamètres conjugués*