IV. — Triangle polaire

316. Les propriétés relatives à la polarité des courbes du second ordre pourraient être déduites de la proposition précédente.

La même proposition conduit d'ailleurs à reconnaître la possibilité de systèmes polaires sans directrices. Nous étendrons k ces systèmes les dénominations que nous avons adoptées à l'occasion des recherches sur la polarité des courbes du second ordre, et nous dirons que deux points d'un système polaire sont réciproques ou conjugués, lorsque chacun d'eux est situé sur la polaire de l'autre; que deux rayons sont réciproques ou conjugués, lorsque chacun d'eux passe par le pôle de l'autre. Nous nommerons, enfin, triangle

polaire tout triangle du système dont les sommets sont les pôles des côtés opposés, c'est-à-dire tout triangle dans lequel les sommets et les pôles sont conjugues deux à deux.

317. Un système plan polaire contient une infinité de triangles polaires.

Pour construire un triangle polaire, on prend sur une droite

quelconque a {fig- 77), qui ^'C* 77* ne passe pas par son pôle A,

un point quelconque B, non

situé sur sa polaire b, et Ton

, , détermine Tintersection C

y-/^ ■'/ Xn des droites a et b. Le point C

^ '''^» d\ >^- étant le pôle de AB, le trian-

C ~1)i ''i)~B Ml" ^^ ABC est un triangle po-

'' ^ laire.

318. On détermine un système plan polaire en prenant, dans un plan, un triangle quelconque ABC comme triangle polaire, et en coordonnant à un point quelconque P {fig* yy)^ qui n^est situé sur aucun des côtés du triangle, une droite p^ qui ne passe par aucun des sommets.

Les deux systèmes superposés qui doivent composer le système plan polaire sont ainsi rapportés réciproquement entre eux, de telle sorte qu'aux quatre points A, B, C, P de l'un correspondent respectivement les droites BC, CA, AB, p de l'autre. Ces deux systèmes sont donc en involution (314), ce qui est précisément la condition requise (315).

319. Quand un système polaire a une directrice, chacun des triangles polaires ABC a l'un de ses sommets à l'intérieur de cette courbe, et les deux autres à l'extérieur.

Si le sommet A est à l'intérieur de la directrice, tous les points de sa polaire BC sont à l'extérieur; si A est, au contraire, à l'extérieur de la courbe, celle-ci est coupée par la polaire BC, et deux points conjugués de cette polaire, tels que B et C, sont dès lors