RELATIONS ENTRE LES FORMES SIMPLES QUI SE CORRESPONDENT, ETC

harmoniquement séparés par la courbe, en sorte que l'un de ces points est à Tîntérieur de la courbe et l'autre à l'extérieur.

Pour décider si un système polaire donné possède ou ne possède pas une directrice, il suffit de rechercher si deux des côtés d'un triangle polaire quelconque contiennent ou ne contiennent pas des points doubles; c'est-à-dire si les ponctuelles qui reposent sur ces côtés sont en involution concordante ou opposée (185). La détermination de la directrice du système polaire donne donc lieu à un problème du second degré, qu'on résout facilement en appliquant la construction relative à la recherche des points doubles dans une ponctuelle en involution.

y. — Système polaire dans la gerbe. Trièdre polaire.

320. Si l'on projette un système plan polaire X d'un point S quelconque, situé hors de Z, on obtient un système polaire dans la gerbe. A tout rayon de la gerbe S est coordonné un plan de celleci, et vice versa. Si le système plan a une directrice, cette courbe est projetée au moyen d'une surface conique du second ordre qui prend le nom de directrice du système polaire dans la gerbe.

Deux rayons de la gerbe sont conjugués, dans ce système, lors- 'que chacun d'eux est situé dans le plan qui correspond à l'autre. Deux plans sont conjugués lorsque chacun d'eux contient le rayon qui correspond à l'autre.

Un trièdre appartenant à un système polaire dans la gerbe est dit trièdre polaire lorsque chacune de ses arêtes correspond à la face opposée.

YI. — Relations entre les formes simples qui se correspondent dans les formes fondamentales de la seconde espèce en inYolntion.

321. Deux formes fondamentales simples quelconques , qui se correspondent dans deux Jormes fondamentales de la seconde espèce en involution, sont elles-mêmes en involution.

Nous nous bornerons à étudier le cas du système plan polaire, auquel tous les autres cas peuvent être facilement ramenés.

Soient S et Z| les systèmes plans qui constituent un système polaire, et soit A [fig* yy) un point quelconque de S, non situé sur sa polaire a|. Si D est un point quelconque de a^ dt sa polaire passant par Â, le point D«, intersection de <Z| et de d^, sera le pule de la droite AD , que nous désignerons par d\ . Tous les points D forment sur ai une ponctuelle u, projective au faisceau de rayons Si composé de toutes les droites rf| (228); la ponctuelle u sera donc aussi projective à la ponctuelle Uf résultant de l'intersection de S| avec «i, c'est-à-dire formée de tous les points D| .

Le point D, considéré comme élément, soit de u, soit de Ut , ayant pour correspondant le point D|, u et i/| sont en involution, et il en est de même, par conséquent, de la ponctuelle u et du faisceau S|.

Les couples de points D, D, de la droite ai et les couples de droites rf,, d\ du faisceau A étant respectivement conjugués, eu d'autre part, les systèmes polaires dans les gerbes donnant lieu à des relations analogues, nous pouvons énoncer la double proposition suivante :

Vans tout système polaire plan, les couples tle points conjugués si' tues sur une même droite forment une ponctuelle en involution, et les couples de droites conjuguées passant par un même point forment un faisceau de rayons en involution.

Dans tout système polaitv de la gerbe, les couples de plans conjugués passant par une même droite for^ ment un faisceau de plans en involution, et les couples de rayons conjugués situés dans un même plan forment un faisceau de rayons en immolation.

VIL — Recherches analogues pour les espaces réciproques.

322. Soient Z et £« deux espaces réciproques, a un plan quelconque de S, ne passant pas par le point A| qui lui correspond dans Z« . Au système plan a de Z correspond alors une gerbe A| de 2«, réciproque à a. Cette gerbe est coupée, par le plan a, suivant un second système plan ol^ qui est aussi réciproque au premier système contenu dans a. Tout point de a, situé sur la droite qui lui correspond dans ^i, est aussi sur le plan qui lui correspond dans