III. — Gonstraction de la conique gauche

337. Construire une conique gauche, étant donnés trois de ses points P, Q,R et trois sécantes a, a^, «2> qui «^ passent pas par les points donnés et qui ne rencontrent pas les droites de jonction de ces points,

Rapporlons projectivement entre eux les faisceaux de plans a, a^^a^y de telle sorte que trois plans homologues se coupent en chacun des points P, Q, R. La courbe cherchée est alors engendrée par ces trois faisceaux de plans.

Lorsque les sécantes aya^^a^ forment un triangle, la conique gauche passe aussi par les trois sommets ; elle passe donc par six points donnés quelconques.

338. Une conique gauche est déterminée par six de ses points, dont quatre quelconques ne sont pas dans un même plan»

Soient S, S|, A, B, G, D les points proposés. Les deux surfaces coniques du second ordre qui projettent la courbe des points S et S| sont déterminées par les rayons qui joignent chacun des points S et S| aux cinq autres.

Ces surfaces contiennent l'une et l'autre la courbe qui passe par les six points donnés, et le rayon SS| leur est d'ailleurs commun; elles engendrent donc (334) la conique gauche, qui est ainsi déterminée. On pourra facilement la construire suivant le procédé qui vient d'être indiqué (337), c'est-à-dire enjoignant trois des six points deux à deux par des sécantes.

Deux coniques gauches ne peuvent donc a\»oir que cinq points communs au plus, sans coïncider.

Une conique gauche est déterminée par cinq points et par la tangente en un de ces points, ou par quatre points et par les tang(*ntes*^n deux de ces points, ou encore par trois points et par les tangentes en ces points.

Soient, en effet, Â, B, C trois points de la courbe, et a, b, c les tangentes respectives en ces points. La surface conique du second

SYSTÈMES DE SÉCANTES DU TROISièME ORDRE. 278

ordre qui projette la courbe du point A doit passer par les trois rayons a, AB, AC et toucher respectivement les plans Ai, Ac suivant les deux derniers rayons. Cette surface est ainsi pleinement déterminée, et il en est de même de la surface conique du second ordre qui projette la courbe de l'un des points B et C.

339. Deux points quelconques d'une conique gauche peuvent être considérés comme centres de deux gerbes collinéaires qui engendrent la courbe.

Soient, en effet, S, S|, A, B, C, D six points quelconques de la courbe. Considérons S et S| comme centres de deux gerbes rapportées collinéairement entre elles, de telle sorte qu'à quatre rayons de S, passant par les points A, B, C, D, correspondent quatre rayons de Si, passant par les mêmes points (171). Les gerbes S et S|, ainsi déterminées, engendrent une conique gauche qui passe par les points S, S», A, B, C, D (330) et qui n'est autre, par conséquent, que la proposée.