IV. — Systèmes de sécantes du troisième ordre

340. Toute sécante d'une conique gauche est la droite d'intersection de deux plans correspondants des gerbes S et S| qui engendrent la courbe.

L'ensemble des droites ainsi déterminées constitue ce qu'on appeUe un système de sécantes du troisième ordre, et la courbe prend le nom de directrice du système de sécantes.

Un rayon quelconque du système est désigné spécialement sous le nom de sécante propre, de tangente ou de sécantr impropre, selon qu'il coupe la courbe en deux points, ou qu'il la touche en un point, ou qu'il n'a aucun point commun avec elle.

341 . Toute sécante de la courbe étant projetée par deux plans correspondants des gerbes SetS«, il s'ensuit que deux se' ^ntes a et b déterminent deux couples de plans correspondants, et, par suite, les axes de deux faisceaux projectifs de plans qui se correspondent dans les gerbes collinéaires. Ces faisceaux de plans engendrent, soit l'un des systèmes de génératrices d^une surface

doublement rectiligne, soit une surface conique du second ordre, et la forme engendrée dans Tun ou l'autre cas se compose exclusivement de sécantes de la conique gauche , au nombre desquelles sont les deux sécantes aeib. Il suit de là que :

Par une conique gauche k et par deux sécantes a et b quelconques, on peut toujours faire passer une surface du second ordre.

Si les sécantes a et h se coupent en un point V de la courbe Ar, la surface du second ordre est une surface conique par laquelle la courbe k est projetée du point P.

Si a et b ne sont pas dans le même plan, la surface est doublement rectiligne et celui des sy^stèmes de génératrices auquel aetb appartiennent se compose de sécantes de k\ l'autre système ne contient aucune sécante, mais chacun de ses rayons a un point commun avec k.

Tout rayon du premier système est dans un plan avec chacun des rayons du second (144); ce plan et la conique gauche ont généralement, et tout au plus, trois points communs, dont deux seulement peuvent se trouver sur la sécante ou rayon du premier système. Le rayon du second système doit donc contenir le troisième point d'intersection. Mais ce rayon ne peut pas être une sécante, car il est coupé, en dehors de la courbe, par une infinité de sécantes ou de rayons du premier système, et il ne peut y avoir, en dehors de la conique gauche, aucun point par lequel passe plus d'une sécante.

Les rayons du second système sont projetés, des sécantes a et&, par deux faisceaux projectifs de plans. En d'autres termes :

La conique gauche est projetée de deux quelconques de ses sécantes par deux faisceaux projectifs de plans, chaque point de la courbe étant projeté par deux plans correspondants des fais» ceaux.

Cette conclusion s'étend au cas où les sécantes a et & se coupent sur la courbe et sont par conséquent situées, avec celle-ci, sur une même surface conique du second ordre.

FAISCEAUX DE PLANS DU TROISIÈME ORDRE. ayS

342. Mener d'un point quelconque K de l'espace une sécante à la conique gauche.

On joint le point K à un point quelconque P de la courbe par une droite g, et Ton fait passer par cette droite deux plans qui ont chacun deux points quelconques, autres que P, communs avec la courbe.

Les droites a elb qui joignent ces couples de points sont situées, avec la conique gauche, sur une surface doublement rectiligne. Cette surface contient aussi la droite g, qui a trois points, gtty gb et P, communs avec elle (148). Le système de droites génératrices de la surface auquel appartiennent les droites a elb contient donc un rayon qui coupe au point K la droite g de l'autre système et qui est la sécante demandée.

La construction fournirait le résultat cherché dans le cas même où la sécante serait impropre.

343. Il résulte incidemment de ce qui précède qu'on peut faire passer une surface doublement rectiligne, et une seule, par une conique gauche k et par une droite g qui coupe la courbe en un point P, mais qui n^est pas sécante. Les sécantes à la courbe forment un système de droites génératrices de la surface] la droite g appartient à l'autre système.

344. Les sécantes propres et impropres d'une conique gauche sont donc complètement déterminées par cette courbe, et deux gerbes coUinéaires quelconques, engendrant la courbe, doivent engendrer aussi le système de sécantes. Ainsi se trouve démontré le théorème suivant :

Un système de sécantes du troisième ordre est projeté de deux points quelconques de sa directrice par deux gerbes coUinéaires; un troisième point quelconque de la directrice est projeté par deux rayons correspondants des gerbes, et chaque rayon du système est projeté par deux plans correspondants,

y. — Faisceaux de plans du troisième ordre.

345. Deux systèmes plans coUinéaires, Z etZf, qui ne sont ni perspectifs ni situés dans un même plan, et qui n'ont, comme élé-

ment uni, ni leur droite d'intersection, ni Tun quelconque des points de cette droite, engendrent, tout ensemble, un système de rayons essentiellement différent de celui que nous avons considéré jusqu'ici, et un faisceau de plans du troisième ordre. Tout rayon du système joint deux points homologues, et tout plan du faisceau du troisième ordre joint deux droites homologues de S et de Z|. Tout rayon du système est appelé axe du faisceau de plans du troisième ordre.

Un plan quelconque ne contient, en général, qu'un axe du faisceau du troisième ordre. Lorsque le plan appartient au faisceau, et dans ce cas seulement, il contient une infinité d'axes qui forment un faisceau de rayons du second ordre et qui résultent des intersections du plan considéré avec les autres plans du faisceau de troisième ordre.

Tout plan du faisceau du troisième ordre contient un axe par lequel ne passe aucun autre plan du faisceau. Cet axe se nomme rayon de contact du plan, et celui de ses points par lequel ne passe aucun autre axe est appelé point de contact du plan.

Par un point quelconque de l'espace doivent passer au plus trois plans et trois axes, au moins un plan et un axe du faisceau.

Le faisceau de plans du troisième ordre est rencontré par deux quelconques de ses axes, suiv^ant deux ponctuelles projectii^es; les deux points de rencontre sur chaque plan sont des points homologues de ces ponctuelles,

346. Par six plans, dont quatre quelconques ne passent pas var un même points on ne peut faire passer qu'un seul faisceau de plans du troisième ordre,

347. Trois ponctuelles projectiveSj dont les lieux a, «i, ^2 ne sont pas dans un même plan, engendrent généralement unfaisceau de plans du troisième ordre dont a^ a^et a^ sont trois axes. On obtient évidemment le même résultat au moyen d'une ponctuelle et d'un système de génératrices d'une surface doublement rectiligne projective à cette ponctuelle.