VI. — Classification des coniques ganches

348. Tous les points à Tinfini d'une conique gauche, comme en général tous les points à Tinfini de Tespace, étant situés dans un plan y les coniques gauches ne peuvent présenter que quatre cas distincts, eu égard à la position et au nombre de leurs points à l'infini.

Nous nommons asymptote et plan asymptote à la courbe, respectivement, la tangente et le plan osculaleur en un des points à rinfini de la courbe. Nous remarquons d'ailleurs que la conique gauche est projetée de chacun de ses points à l'infini par une surface cylindrique du second ordre.

Cela posé, voici comment on distingue les quatre cas énoncés :

La conique gauche est coupée parle plan à l'infini en trois points, ou bien elle n'a avec ce plan qu'un seul point d'intersection, ou bien elle est coupée en un point et touchée en un autre, ou enfin le plan à l'infini est osculateur à la courbe.

Ces quatre cas se rapportent respectivement aux quatre courbes suivantes :

(a). U hyperbole gauche. Elle a trois points à l'infini. Ses asymptotes et ses plans asymptotes sont à distance finie. Trois cylindres hyperboliques, dont les plans asymptotes sont parallèles entre eux deux à deux, se coupent suivant cette courbe.

(&). \J ellipse gauche. Elle a un point à Tinfini, une asymptote et un plan asymptote à distance finie. On ne peut faire passer par cette courbe qu'un seul cylindre, qui est précisément un cylindre elliptique.

(c). \J hyperbole parabolique . Elle a deux points à l'infini, une asymptote à l'infini, une asymptote et deux plans asymptotes à distance finie. On peut faire passer par cette courbe deux cylindres : l'un parabolique, l'autre hyperbolique.

[d), LidL parabole gauche. Elle a un seul point, une asymptote et un plan asymptote à l'infini. On ne peut faire passer par cette courbe qu'un seul cylindre, qui est parabolique.

GKOMETAIE DE POSITION. — GHAPITBB XX.

YII. — Éléments lianiioiiiqiies dans les formes élémentaires

dn troisième ordre.

3h9, Quatre points d*iine conique gauche k sont dits harmoniques lorsqu'ils sont projetés ( Ski ) d'une sécante quelconque de la courbe par quatre plans harmoniques, et aussi, par conséquent, lorsqu'ils sont projetés d'un point quelconque S de la courbe par quatre rayons harmoniques de la surface conique du second ordre SA:.

Quatre plans d'un faisceau K du troisième ordre sont dits harmoniques lorsqu'ils sont rencontrés par un axe quelconque du faisceau en quatre points harmoniques, et aussi, par conséquent, lorsqu'ils sont coupés par un plan quelconque o- du faisceau suivant quatre rayons harmoniques du faisceau o-K du second ordre.

350. Nous comprendrons la conique gauche et le faisceau de plans du troisième ordre sous la dénomination commune àe formes élémentaires du troisième ordre. Les théorèmes et définitions établis à propos des formes élémentaires du premier et du second ordre (157-159) sont aussi applicables à ces formes nouvelles.