PROJECTIVITÉ DANS LES CONIQUES GAUCHES
perspectifs à une conique gauche sont projectifs entre eux.
perspectifs à un faisceau de plans du troisième ordre sont projectifs entre eux.
352. Rapporter projectwement entre elles deux coniques gauches k et ki de telle sorte qu'aux points A, B, Cde k corresponddent respectivement les points A| , B| , Cj de k^ .
On rapporte projectivement entre eux deux faisceaux de plans, Fun u perspectif à la courbe ky Tautre V\ perspectif à la courbe Ari, de telle sorte qu'aux plans uA, uB, uC du premier correspondent respectivement les plans V\^\f t^iBi, V\Qài du second.
Deux points des courbes se correspondent quand ils sont projetés par deux plans correspondants des faisceaux u et v^.
Les coniques gauches projectiles sont des /ormes correspondantes de deux espaces collinéaires.
Soient, en effet, D, E, F trois nouveaux points de la courbe k, auxquels correspondent, dans /l|, les points D|, £i, Ff Nous pouvons rapporter coUinéairement entre eux deux espaces, £ etD|, de telle sorte qu'aux cinq points A, B, C, D, E de Z correspondent respectivement les cinq points A|, B|, C|, D|, E| dell|. Le faisceau de plans AB(CDEF) a dès lors pour correspondant le faisceau de plans A,B| (C|D|E|F| ) qui lui est perspectif, et le plan ABF de Z a pour correspondant le plan A| B| F| de Z| .
On démontre de la môme manière que tout autre plan de 2, joignant le point F à deux quelconques des points A, B, G, D, E, a pour correspondant le plan de £| qui projette de F| les deux points correspondants du groupe A| , B| , C| , Di, E| .
Le point F de X, comme point d'intersection de trois plans ainsi définis, correspond au point F| de X^, considéré comme point d'intersection des trois plans qui correspondent aux trois premiers. Conséquemment, la courbe k, sur laquelle se trouvent les six points A, B, G, D, E, F, doit avoir pour correspondante la courbe A:«, à laquelle appartiennent les points homologues A4, B|, G|, D|, E|, Fi; on ne peut, en effet, faire passer qu'une seule conique gauche par six points de l'espace (338).
a8o GBOMBTaiE DE POSITION. — CHAPITRE XX.
TJL. — Goniqnes ganches inyolntoires.
353. Une conique gauche involutoire est projetée de chacun de ses points par une surface conique du second ordre (334), qui est elle-même en involution, et tous les couples de rayons conjugués de cette surface sont dans un même plan avec une droite g' (180) qui n'appartient pas à la surface, mais qui passe par son centre. Deux points conjugués quelconques de la conique gauche sont donc pareillement dans un même plan avec gf et les sécantes de la courbe qui joignent les couples de points conjugués appartiennent à un système de génératrices (34>1) dont la droite g est une directrice. Quand la courbe involutoire a deux points doubles , les tangentes en ces points appartiennent au même système de génératrices et séparent les sécantes propres des sécantes impropres.
Il résulte de là que :
Si, par une conique gauche, on /ait passer une surface doublement rectiligne, tout rayon de l'un des systèmes de génératrices de cette surface est une sécante de la courbe, et tout rayon de l'autre système coupe la courbe en un seul point.
Les points de la courbe sont accouplés involutoirement au moyen des rayons du premier système, et il peut arrii^er, ou que tous ces rayons soient des sécantes propres, ou bien que deux de ces rayons touchent la courbe et séparent les sécantes propres des impropres,
X. — Détermination des coniques gauches par points et sécantes.
354. Une conique gauche est généralement déterminée quand on donne quatre sécantes et deux points SetSt de la courbe.
Les gerbes S et S| engendreront la conique gauche si on les rapporte collinéairement entre elles de telle façon que deux de .eurs plans correspondants se coupent suivant chacune des quatre sécantes données. Pour que la relation de collinéation ne puisse s'établir que d'une seule manière, il faut attribuer aux points S et S| des positions telles qu'aucun rayon partant de ces points ne
