DÉTERMINATION DES CONIQUES GAUCHES PAH POINTS ET SÉCANTES

soit coupé par trois quelconques des quatre sécantes données. La droite SS| ne peut pas d'ailleurs être Tune de ces sécantes, car autrement les gerbes S et S| auraient un plan uni.

Quand trois des sécantes données forment un triangle, la coaique gauche passe par les sommets (337).

La courbe est donc déterminée et peut être construite quand on donne cinq de ses points et une sécante.

Nous établirons entre les quatre sécantes a, by a^, &| un ordre déterminé de succession, afin que, ces droites étant projetées des points S, S| et d*un troisième point quelconque Sa de la conique gauche, au moyen de trois angles tétraèdres (24), chacun des couples de sécantes a, a^ et &, b^ soit précisément projeté par un couple de faces opposées.

Menons, dans chacun des trois angles tétraèdres projetants, le plan des deux rayons suivant lesquels les faces opposées se coupent deux à deux; nous obtenons ainsi, dans les gerbes coUinéaires S, S|, Say respectivement, les plans o*, ^i, 0*2, qui sont homologues et qui se coupent, par conséquent, suivant une même sécante s.

Lorsque le point S2 se déplacera sur la conique gauche, le plan G2 tournera autour de la sécante s.

Ces considérations servent de base à une construction très-simple de la conique gauche :

Étant donnés deux points S, S| et deux couples de sécantes a, ai et &, &| de la conique gauche, on fait passer par S deux rayons qui soient coupés, le premier par a et ai , le second par & et &| ; on joint ces deux rayons par un plan a. On détermine pareillement le plan a^ des deux rayons qui passent par S| et qui coupent respectivement les couples de sécantes a, ai et &, &i ; on détermine enfin l'intersection s des plans 7 et ^i . Tout plan c^ passant par 5 coupe alors les deux couples de sécantes a, ai et &, b^ en deux couples de points A, A| et B, B|, dont les droites de jonction AA|, BB| se rencontrent en un point S% de la conique gauche.

On reconnaîtra l'exactitude de cette construction en observant que les deux surfaces doublement rectilignes qui unissent 5 à a, ai et à by &i, se coupent suivant la sécante s et suivant la conique gauche cherchée.

28a GBOMBTRIB DB POSITION. — OUnTlB XX.