XI. — Hexagone et tétraèdre inscrits dans la conique gauche

Gongruonce.

355. De ce qui a été établi au n^ 335 et du théorème de Pascal (68) on déduit que :

Tout hexagone inscrit dans une conique gauche est projeté d'un point quelconque S de la courbe au moyen d'un hexaèdre dont les trois couples de faces opposées se coupent suiv^ant des droites situées dans un même plan a, qui passe par le centre de projection.

Lorsque le point S se meut sur la conique gauche , le plan o* tourne autour d'une sécante fixe Sj qui est déterminée par deux couples de côtés opposés a^ a^ et by b^ de l'hexagone ; cette sécante est d'ailleurs commune aux deux surfaces doublement rectilignes qui rattachent la conique gauche aux deux couples de sécantes a, a^ et bj i|.

356. Soit SABC un tétraèdre inscrit dans la conique gauche et soient S|, A^ Bi, Ci les points oà les tangentes aux quatre sommets Sy Ay By C sout coupccs par les faces respectivement opposées du tétraèdre. Les points S^ A|, B«, C| forment un second tétraèdre qui est en même temps inscrit et circonscrit au premier. Le plan A|B|C|, par exemple, contient le point S. Lorsque ce point se meut sur la courbe, le plan A| B| Ci tourne autour d'une sécante fixe s^ et les points A, B, C ne changent pas de position. Le triangle ABC est donc projeté de S par un trièdre inscrit dans la surface conique du second ordre S/r, et les tangentes aux points A| B^ C sont projetées par les plans tangents suivant les trois arêtes SA, SB, SC. Les trois rayons SA|, SB|, SC|, suivant lesquels les faces du trièdre sont coupées par les plans tangents des arêtes opposées, doivent, par conséquent, se trouver sur un même plan A4B1C1. Si l'on remplace le point S par un autre point S' de la courbe, on obtient, au lieu du plan A| B| C| , un autre plan A', K, C, . Ces deux plans se coupent suivant une sécante 5, puisqu'ils se correspondent dans les gerbes coUinéaires