HEXAGONE ET TETRAEDRE INSCRITS DANS LA CONIQUE GAUCHE
qui projettent des points S et S' la conique gauche et son système de sécantes.
357. On déduit de cette propriété une importante application relative aux plans osculateurs d'une conique gauche.
Désignons, en effet, par a, i, c les tangentes AA|, BB|, CC< aux points A, B, C et par P le point où la sécante s rencontre le plan ABC. D'après ce qu'on vient de démontrer, la droite d'intei> section des plans SBC et Sa et la sécante s doivent se trouver dans un même plan. Quand le point S, se déplaçant sur la courbe, vient à coïncider avec le point A, le plan Sa devient osculateur au point A, le plan SBC coïncide en même temps avec ABC, et la droite d'intersection de ces deux plans, qui doit toujours couper la sécantes, se confond avec la droite AP.
On démontre de la même manière que les plans osculateurs des points B et .C doivent passer par le point P. Donc :
Les plans osculateurs en trois points quelconques A, B, C d'une conique gauche se coupent en un quatrième point P du plan ABC.
Il résulte immédiatement de là que :
Par un point quelconque P de l'espace, il ne passe jamais plus de trois plans osculateurs d'une conique gauche, et par une droite quelconque, jamais plus de deux.
En effet, si les plans osculateurs de quatre points A, B, C, D de la courbe passaient par le point P, les points C et D devraient se trouver sur le plan ABP, ce qui est impossible, puisque le plan peut avoir tout au plus trois points communs avec la conique gauche (*).
358. Une seconde conséquence du théorème démontré plus haut (356) est exprimée par la double proposition suivante :
Les deux tétraèdres formés, l'un par quatre points d'une conique
Les deux tétraèdres formés, l'un par quatre plans d^un faisceau de
C) On énonce ordinairement cette proposition sous une autre forme, en exprimant que la courbe du troisième ordre est en même temps de la troisième classe. Rappelons, à ce propos, que la classe d'une courbe gauche est exprimée par le plus grand nombre de plans osculateurs qu'on peut mener à cette courbe par un point.
gauche, l'autre par les quatre plans osculateurs en ces points, sont en même temps inscrits et circonscrits l'un à l'autre.
plans du troisième ordre, Vautre par les quatre points de contact de ces plans, sont en même temps inscrits et circonscrits l'un à l'autre.
Celte propriété permet de construire le plan osculateur en un point quelconque d'une conique gauche quand on connaît les plans osculateurs en trois points.
XII. — Relation entre la conique gauche et le faisceau de plans
du troisième ordre.
359. On voit, d'après ce qui précède, que la position de quatre points d'une conique gauche par rapport à leurs quatre plans osculateurs est identique à la position de quatre points de contact d'un faisceau de plans du troisième ordre par rapport à leurs quatre plans.
Cette observation conduit aux propositions suivantes :
Tous les plans osculateurs d'une conique gauche forment un faisceau de plans du troisième ordre.
Tous les points de contact d'un faisceau de plans du troisième ordre forment une conique gauche.
Soient a, j3, y les plans respectivement osculateurs aux points A, B, C de la courbe /r, et soit P le point d'intersection de ces plans, situé sur ABC (357). •
Quand le point C parcourt la courbe, le plan ABC décrit un faisceau de plans AB, perspectif à h\ ce plan, dans chacune de ses positions, coupe la droite a(3 au point P, par lequel passe aussi le plan osculateur y du point C. Le faisceau de plans AB décrit par ABC est donc perspectif à la ponctuelle a(3 décrite par le point «Py ou P pendant le mouvement du plan osculateur y. Si maintenant on remplace les points A et B par deux autres points fixes quelconques A| et B| de la courbe, et si l'on considère que les deux faisceaux de plans AB et A^B^, perspectifs à la courbe, sont projectifs entre eux, on est amené à conclure que :
Toutes les ponctuelles sur les lieux desquelles se coupent deux plans osculateurs d'une conique gauche sont rapportées projeC" tiveinent entre elles par les plans osculateurs de la courbe.
