ANALOGIE ENTRE LES CONIQUES PLANES ET GAUCHES

Trois de ces ponctuelles projectives, non situées dans un même plan, engendrent tous les plans osculateurs; en d'autres termes, chacun des plans osculateurs est déterminé par trois points correspondants des ponctuelles.

Nous savons, d'autre part, que les trois ponctuelles engendrent un faisceau de plans du troisième ordre (347); nous avons, par conséquent, démontré que :

Les plans osculateurs d'une conique gauche engendrent un faisceau de plans du troisième ordre.

Xin. — Analogie entre les coniqpies planes et gauches.

360. Ces dernières propositions et quelques-unes de celles qui les précèdent mettent en évidence une certaine analogie entre les coniques que nous appellerons planes et les coniques gauches.

L'analogie paraît encore plus complète si Ton considère que toute conique gauche détermine un système focal, de même que toute conique plane peut être prise comme directrice d'un système plan polaire.

Une conique gauche k et le faisceau de ses plans osculateurs peuvent être considérés comme deux formes coordonnées d'un système focal dans lequel tout plan osculateur de la courbe est coordonné à son point de contact et toute tangente à elle-même.

Soient, en effet, A, B, C, D, E, F six points quelconques de la conique gauche k et a, |3, y, d, e, f leurs six plans osculateurs respectifs. Nous pouvons rapporter réciproquement entre eux deux espaces, 2 et £« , de telle sorte qu'aux cinq points A, B, C, D, E de £ correspondent les cinq plans a, (3, y, ^, e de S^. La ponctuelle a|3 de £« correspond alors au faisceau de plans AB de D et est une section de ce faisceau, car les trois points aj3y, aj3d, ajSe de a^ sont respectivement situés sur les plans ABC, ABD, ABE du faisceau AB qui leur correspondent. Par le même motif, tout autre point de £| commun à deux des plans a, ^, y, ^, t est sur le plan de 2 qui lui correspond.

Cela posé, on sait que, quand deux espaces 2 et S^ sont réciproques, ou bien ils forment un système focal, et tout point de £|

est contenu dans le plan de Z qui lui correspond, ou bien les points de S| qui satisfont à cette condition sont situés sur une surface du second ordre.

Cette dernière solution ne peut pas être celle du cas qui nous occupe, car la surface du second ordre devrait avoir quatre droites communes avec chacun des cinq plans a, ^, y, iy t (par exemple, les droites a|3, ay, ad, ae communes avec a), ce qui est impossible. Conséquemment, les espaces réciproques S et Z| forment un système focal, et à un point quelconque F de la conique gauche h est coordonné un plan f i passant par ce point. Le point F se trouvant sur le plan ABF, tf^ doit passer par le pôle de ce plan, c'est-à-dire par le point d'intersection de la droite ap et du plan ABF ; le plan osculateur cp du point F passe aussi par ce point. Les plans <f { et ^ ont donc un même point commun avec la droite a^ ; ils ont pareillement un même point commun avec chacune des droites oLy^ aiy ae, ^y, etc. Donc les plans 94 et 9 coïncident.

La conique gauche k est appelée directrice du système focal qu'elle détermine.

Cette proposition fournirait d'ailleurs une nouvelle démonstration de la précédente. En effet, dans deux espaces réciproques, toute conique gauche correspond à un faisceau de plans du troisième ordre. Si donc, dans un système focal, la conique gauche est coordonnée au faisceau de ses plans osculateurs, ce faisceau est du troisième ordre.