CB "^ "" CD

38. Le point milieu entre B et D étant M, Téquatum précédente pourra s'écrire

AM — BM __ AM -f- IMD MB^^^MC"" CM -t- MD

ou bien, en remplaçant MB par — BM, MC par — CM et MD par BM,

AM — BM AM 4- BM CM — BM "" "~ CM -h BM*

Multipliant et réduisant, il vient

(2) bm'=am.cm,

ce qui revient à dire que BM est mojenne proportionnelle entre AM et CM.

On pourrait encore prendre cette propriété comme dcGnition d'un système harmonique de points.

Faisons passer un cercle quelconque par les points A et C [fig- lo}; menons à ce cercle, par le point M, la tangente MT. Nous avons, d'après une propriété connue,

AM . CM m TM'

(') Les segments négatifs ont été employés dès le commencement du wii* siècle, spécialement par Gieahd et par Descabtes; mais c'est en 1827 que Môbius a introduit, pour la première fois, dans le Calcul géométrique, la féconde distinction des segments AB et BA {^Der harycentrische Calcul, ein nettes Hulfsmtttel xttr analjrtischen Behandlung der Géométrie. Leipxig, g 1 ). Il conrient de rappeler, toutefois, qu'avant Môaras, KÂSTNDi avait explicitement indiqué cette distinction {Geometrische Abhond- Itmgen. Erste Sammlung. Anwendttngen der ebenen Géométrie ttnd Trigonométrie, Der Matbem. Anfangsgr., I Theils, III Abtheil. Gôttingen, 1790, p. 464). Entre Kâstkeh et MoBios il faut citer Ft.-G. Bcssb, qui a introduit, en pleine connaissance de cause, la notion de direction en Géométrie {Neue ErÔrterung ûber das Plut und Minus, Tadel einiget bisherigen uAd Darstellung einet genaueren Gebrauches desselben /Or die Trigonométrie. I. Abth. Kothen, iSoi). Voir, à ce sujet, Ueber die Vieldentigkeit der Qua» draiur und Rectification algebraiseher Curven, etc., von Kebmamn Hamkbl. Leipzig, i86j, p. 8.

et par suite

Le point de contact de la tangente est donc situé sur le cercle décrit du point M comme centre, avec BM = MD pour rayon. Ce cercle et le précédent se coupent à angle droit au point T. On en déduit que :

Tous les cercles du plan passant par deux points donnés, A et C, sont coupés à angle droit par tout cercle dont un diamètre DB a ses extrémités séparées harmoniquement par A et C.