IV. — Conditions dldentité

43. Deux formes Jondamentales simples, projectis^es et superposées, ont au plus deux éléments unis, ou bien tous leurs éléments sont unis et les formes sont identiques.

Considérons deux ponctuelles projectives superposées, u et u, [fig. i3), et soient A, B, C trois points de u qui coïncident res-

Fîg. i3.

Al D| Cl Di **(

pectivement avec les points correspondants A|, B|, C| de ii|. Tout autre point, harmoniquement séparé de Tun de ces trois points unis, par les deux autres, doit coïncider avec son correspondant, en vertu de la définition des relations de projectivité (41 ), et parce que, pour trois points d'une droite, il n'existe qu'un quatrième point harmoniquement séparé de l'un des premiers (27, 28).

Tout nouveau point uni DD|, ainsi obtenu, fournit, avec deux quelconques des autres, de nouveaux points qui sont correspondants communs sur les deux ponctuelles, en sorte qu'une infinité de points de u coïncident avec leurs correspondants de U|. Ces points unis se suivent d'ailleurs avec continuité. Supposons, en efiet, qu'il en soit autrement et qu'il existe deux points unis successifs, P et Q, tels que le segment PQ ne contienne aucun point en coïncidence avec son correspondant; d'autres points unis devront, toutefois, se trouver en dehors du segment PQ et chacun d'eux déterminera un quatrième point harmonique uni, situé sur ce segment, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse admise. U y aura donc un segment MN dont tous les points, se succédant avec continuité, coïncideront avec leurs correspondants. Et, comme un point quelconque, situé en dehors du segment, forme un système harmonique avec M, N et avec un point du même segment.