FORMES A TROIS ELEMENTS UNIS

on doit conclure que tous les éléments des ponctuelles proposées sont unis.

On démontre la même propriété, pour deux faisceaux de rayons ou de plans qui ont trois éléments unis, en coupant les faisceaux par une même transversale.

Donc, si deux formes fondamentales projectives simples n'ont pas tous leurs éléments unis, elles ne peuvent avoir plus de deux éléments unis.

V. — Formes à trois éléments unis. Conditions pour que denz ponctuelles projectives non superposées deviennent perspectives.

44. Il résulte de ce qui précède que, si une ponctuelle et un faisceau, ou un faisceau de rayons et un faisceau de plans, sont projectifs et ont trois éléments unis, la première forme est une section de la seconde.

45. Si deux ponctuelles projec^ tivesy u et Ui {fg» 14]» situées dans

Fig. i/|.

un même plan, mais non superpo^ séeSy ont comme point uni leur in' tersection A, elles sont sections d'un même faisceau de rayons et par conséquent pcrspectiçes.

En effet, deux points quelconques B et C de II sont joints à leurs correspondants respectifs B| et Ci de iij, par les droites 6 et c qui se coupent en un point S. Les deux

Si deux faisceaux projectifs de rayons, S et Sj {fig* i5), situés dans

Fig. i5.

un même plan, mais non concentri^ tjues, ont comme rayon uni la droite a qui joint leurs centres, ils sont projections d'une même ponctuelle et par conséquent perspectifs.

En effet, deux rayons quelconques b et c de S sont rencontrés par leurs correspondants respectifs ^1 et C| de S aux points B et C d'une droite u^. Les deux ponctuelles

faisceaux de rayons par lesquels les ponctuelles « et «i se projettent de S sont identiques, puisqu*ils sont projectifs et qu'ils ont trois rayons unis SA, SB, SC ou a, b, c.

En projetant les figures de ces dans Tespace, en dehors de leur veaux théorèmes suivants :

Si deux faisceaux projectifs de rayons^ concentriques mais situés dans deux plans différents y ont comme élément uni la droite (F intersection de ces plans, ils sont sections d'un même faisceau de plans et par conséquent perspectifs,

46. Deux ponctuelles projectiles, u et Ui^ étant sur deux droites différentes, si trois points quelconques B, C, D de l*une [u) sont joints aux trois points Bj, Cj, Dj, qui leur cor^ respondent sur C autre ( u^ ) par trois rayons concourant en un même point S, les deux ponctuelles sont sections du faisceau S de rayons, par suite perspectives, et toutes les droites qui joignent deux points correspondants passent par S.

En effet, les faisceaux projectifs des rayons par lesquels les deux ponctuelles sont projetées du point S ont trois rayons unb, BBj, CCi, DD|, et par conséquent tous leurs rayons unis.

suivant lesquelles la droite u coupe les faisceaux S et S| sont identiques, puisqu'elles sont projectives et qu'elles ont trois points unis iMi, ub^ uc ou A, B, C.

deux théorèmes d'un point pris plan, on obtient les deux nou>

Si deux faisceaux projectifs de plans, dont les a.ves se coupent, ont comme élément uni le plan déterminé par ces axes, ils sont projections d'un même faisceau de rayons et par conséquent perspectifs.

Deux faisceaux projectifs de rayons, S et Si , ayant des centres flifférents, si trois rayons quelcon^ ques b, c, d de l'un (S) sont coupés par les trois rayons ^i, Ci, rfi, qui leur correspondent sur l'autre (S^) en trois points situés sur une même droite a, les deux faisceaux sont projections de la ponctuelle u^ par suite perspectifs, et tous les points où se coupent deux rayons correspondants sont sur u.

En effet, les ponctuelles projectives suivant lesquelles les deux faisceaux de rayons sont coupes par la droite u ont trois points unis, 66i, CC|, ddi, et par conséquent tous leurs points unis.

En projetant les figures d'un point quelconque de Tespace on aura les théorèmes analogues pour deux faisceaux de rayons ou de plans dans la gerbe.

FORMES RAPPORTEES PROJECTIVEMENT ENTRE ELLES. 47

YI. — Formes rapportées projectiyement entre elles.

47. Pour rapporter projectivemenl deux formes fondamentales simples, il suffira de prendre arbitrairement trois couples d'éléments correspondants ; tout élément de Tune des formes aura alors son correspondant déterminé dans Fautre.

Nous nous bornerons à considérer les divers cas qui peuvent se présenter pour deux ponctuelles ; on ramènera facilement à ces cas tous ceux qui se rapportent, soit à une ponctuelle et à un faisceau, soit à deux faisceaux, puisqu'à tout faisceau peut être substituée sa section par une droite.

Soient donc deux ponctuelles u et U| (Jig* i4) ^^î se coupent et qu'il s'agit de rapporter projectivement l'une à l'autre, de telle manière que le point d'intersection A soit un point uni et qu'aux points B et C de u correspondent les points B| et Ci de i/i . En ce cas, l'une des ponctuelles est une projection de l'autre (45) faite du point S d'intersection de BB| etCC|. A un quatrième point quelconque D de u correspondra donc, dans Ui, sa projection D|, faite du point S.

Soient encore deux ponctuelles u et ii| {J^g- i6), non situées

Fig. i6.

sur la même droite, et qu'il s'agit de rapporter projectivement l'une à l'autre, de telle sorte qu'aux points A, B, C de u correspondent respectivement les points A|, B|, C| de U|. Prenons sur la droite qui joint deux points correspondants, par exemple sur AA|, un point S différent de A et de A| ; faisons passer par A|

48 GéoxéTRIE DE POSITION. — CHAPITRE VI.

une droite U2, difTérente de U| et de AA| et rencontrant la droite u. Projetons la ponctuelle u sur u^ du centre S et soient Aj, B29 C2 les projections de A, B, C. Le problème est alors ramené au précédent. Nous n^avons plus, en effet, qu'à rapporter projectiveraent les deux ponctuelles u^ et ua de telle manière que leur point d'intersection A| et A2 soit un point uni et qu'auxpoints B| etC| de U| correspondent respectivement les points B2 et C2 de U2. Les ponctuelles u et i/| peuvent ainsi être considérées comme projections d'une troisième ponctuelle U2. Pour déterminer sur U| le point D|, correspondant à un point quelconque D de z/, nous projetterons, du centre S, D en D2, puis, du centre Sj , D2 en D| sur z<f .

Enfin, si les ponctuelles u et Uf, situées sur la même droite, doivent être rapportées projectivement, de telle sorte qu'aux points A, B, C de a correspondent respectivement les points A| , B|, C|, de Uiy on ramènera ce cas au précédent en projetant U| sur une autre droite quelconque U2. Si deux points correspondants quelconques, par exemple A et A|, coïncident, on fait passer U2 par le point uni qui en résulte et l'on retombe ainsi sur le premier cas.

Il ressort de cette recherche que deux formes fondamentales projectwes peus^ent toujours être considérées comme la première et la dernière d^ une série déformes dont chacune est perspective à celle qui la précède et à celle qui la suit.

Ces considérations n'ont pas seulement pour effet de justifier l'expression de projectix^ité ; elles mettent encore en évidence qu'à chaque succession continue d'éléments dans l'une des deux formes projectives correspond une succession continue d'éléments dans l'autre. Si donc deux éléments correspondants en engendrent un troisième, l'ensemble des éléments ainsi engendrés doit être aussi une suite continue d'éléments.

Vn. — Formes projectives concordantes et opposées.

48. Si de deux ponctuelles projectives, u et U| {fig* 17), l'une u est décrite par le mouvement de l'un de ses points P, le point Pi, qui est à chaque instant correspondant de P dans iii, parcourt en même temps cette seconde ponctuelle.

Lorsque u et Ux sont situées sur la même droite, P| peut se